Статья: Фракталы в нефтегазовой геологии и геофизике

r µ t ^{1 / ( 2 + x )} , (7)

где x 0 . В ситуации отсутствия фрактальности x = 0 , и имеет место обычное для диффузии соотношение r µ t ^1/2 .

Вероятности нахождения частицы в любом узле на расстоянии r от начального станут одинаковыми через достаточно большое время t при любом r . Поэтому вероятность оказаться через время t в начальном узле i можно представить в виде

w_ii µ r ^{- D µ} r ^{- D/(2+x )} .(8)

В случае колебаний фрактала плотность распределения его колебательных состояний r ( w ) по частотам w определяется на основе аналогии между уравнением упругих колебаний фракталов и уравнением случайных блужданий на фракталах:

. (9)

Фрактонная размерность d_f = d для плотности обычных фононных состояний на d - мерной регулярной решетке.

Область фрактального поведения реальных фрактальных структур ограничивается некоторым максимальным масштабом l . При этом на масштабах, превышающих l , и , следовательно, на низких частотах, не превышающих некоторую частоту кроссовера w_c (l) , реализуется ситуация обычного фононного спектра. На более высоких частотах происходит переход (кроссовер) к фрактонному спектру, что может характеризовать степень нефтегазонасыщенности исследуемых сред.

Напряженность упругой пористой среды связана с ее насыщенностью нефтью или газом. Поэтому вариации во времени фрактонной части спектра будут отражать геодинамику нефтегазонасыщенных систем, обусловленную техногенными процессами. Вместе с тем появляются возможности по пространственным изменениям фрактонных характеристик судить о насыщенности упругой среды нефтью и (или) газом, причем по переходу фрактонов в фононный спектр в ряде реальных ситуаций можно регистрировать границу нефтегазового месторождения.

Поскольку число частиц, составляющих реальный материал, должно соответствовать числу мод колебаний, то плотность состояний фононного ( r _p ) и фрактонного ( r _f ) спектров в единице объема выражается следующим образом:

, (10)

, (11)

здесь - число фрактальных фрагментов в единице объема, формирующих фононную часть спектра; - число частиц размера l ₀ во фрактальном фрагменте размера l ;

(12)

- фрактонная дебаевская частота, определяемая через частоту кроссовера w_c .

Фрактонная дебаевская частота, как и обычная дебаевская частота для фононного спектра, в качестве предела интегрирования обеспечивает нормировку числа колебаний на число частиц. Интегрируя плотности r _p ( w ) и r _f ( w ) на интервалах ( 0 , w_c ) и ( w_c , w_d ) соответственно, получаем, что полное число фононных состояний N _p = N , тогда как для фрактонов полное число колебательных мод N _f = N ( n - 1 ) . Полное число частиц равно числу всех колебательных состояний:

N = N_p + N_f = Nn .(13)

Из (10), (11) следует, что на частоте кроссовера плотность фононных состояний превышает плотность фрактонных состояний:

r _p = Nd > r _f = N_f d_{f ,} (14)

так как d > d _f . Наличие этой особенности можно использовать для регистрации границ нефтенасыщенной структуры.

Проблема определения размерности фракталов, представленных неупорядоченными упругими средами, решается путем измерения фрактонной размерности сейсмоакустических сигналов. Результаты изучения связи между фрактонным спектром и фрактальными характеристиками упругих сред могут быть использованы для развития методов исследования геодинамики нефтегазоносных систем, геологоразведки и геофизического мониторинга месторождений нефти и газа. Разрабатываемые в настоящее время на основе современных достижений физики фракталов, геофизики и математической физики принципиально новые методы комплексного анализа нефтегеологических систем позволяют конкретизировать информацию о их динамике с учетом сложности топологии нефтегазовых коллекторов, пористой структуры напряженных нефтегазоносных слоев, изменения состояния месторождений под влиянием техногенных процессов.

Список литературы

Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991.

Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

Turcotte D.L. Fractals and chaos in geology and geophysics. Cambridge University Press, 1992.

Fractals in petroleum geology and Earth processes. Ed. Barton C.C. and La Pointe P.R., N.Y. and London: Plenum Press, 1995.

Запивалов Н.П., Смирнов Г.И. О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений // ДАН, 1995, Т. 341, N 1. С. 110 - 112.

Голубятников В.П., Запивалов Н.П., Иванов В.М., Смирнов Г.И. Фрактальное моделирование обратной задачи рассеяния сейсмических и акустических полей при геологоразведке и геофизическом мониторинге // Труды Межд. семинара "Обратные задачи геофизики". Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН, 1996. С. 72 - 73.

Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания // Успехи физ. наук. 1986. Т. 150, N 2. С. 221 - 256.

Запивалов Н.П. Фрактальная геофлюидодинамика нефтенасыщенных систем // Труды Всерос. науч. конф. "Фундаментальные проблемы нефти и газа". М.: Изд. РАЕН, 1996. Т. 4. С. 21 - 30.