Статья: Математические модели и ценности человеческого выбора
Математика в принципе, по идее, должна воспитывать хороших людей. Умных, сильных и справедливых. Как поле для творчества математика наиболее близка человеку: это пространство созидания все новых и новых конструкций и их обоснования. И в силу своей фундаментальности математика требует огромного труда и полной отдачи. Это - и область чистого мышления, и чистой практики. Это чистый труд.
Чистый! Однако математик не может отгородиться от жизни, в которой есть всякое. И к математике примыкает моделирование. Это способ сочетать структурное с неструктурным. Рациональное - с иррациональным.
Математики могут и активно участвовать в непосредственной экономической жизни - красиво жить в том или ином смысле. (Примеры в УрГУ: специализации на кафедре математической экономики и кафедре экономического моделирования и информатики).
Для этого они имеют самый важный шанс: математические способности, к которым надо только добавить волю и естественное нравственное чувство. Так что перспективы в принципе самые благоприятные. Развитие многих наук в их существенных поворотных пунктах отталкивалось от нетривиальных открытий в математике. Так было в физике, так было в экономической науке.
Об экономике - несколько подробнее:
Ее этапы отвечали таким математическим этапам:
формальная логика - дифференциальное исчисление - вариационные принципы - механическая динамика и равновесие - математическая статистика - линейная алгебра - линейное программирование и теория игр - алгебраические модели и выпуклый анализ - распознавание образов - нейронные системы и искусственный интеллект - динамический хаос и фрактальная математика.
Сейчас линейная математика заменяется существенно нелинейной, это совсем новая математика, естественно вырастающая из старой.
Математика, в сущности, наука о бесконечном. При движении в бесконечное мы открываем все новые феномены, которые нельзя предсказать: это трудная работа. Можно сказать, что математика - это гуманитарное направление, не позволяющее соскальзывать в облегченные рассуждения.
История математики богата глубочайшими идеями, в том числе философскими. Фалес дал начало фундаментальному понятию доказательства. Платон говорил о математике как о единственной чисто научной дисциплине, как входу во все остальные виды интеллектуальной деятельности. Важное значение имели работы Пифагора и его школы. Это и чисто математические работы, и мистика чисел и фигур. Многие аспекты бытия объяснялись взаимоотношениями чисел, в том числе и музыка.
Если брать одну только линию развития логики, то можно привести череду величайших имен: Кузанский, Спиноза, Декарт, Лейбниц, Кант, Фреге, Милль, Рассел. Можно еще продолжать, но пока остановимся. Одна только математическая логика как точная наука о развернутых формах мышления - необъятная тема.
Современное гуманитарное мышление - во многом математическое. Достаточно назвать математическую экономику, социологию, политологию, психологию. А с появлением уже развитой информатики и информационной индустрии применение математических моделей стало всеобщим и необходимым. Одна только тема "Искусственный интеллект" необъятна как по содержащимся в ней моделям, так и - главное - по их осмыслению с точки зрения логики и методологии развития всей науки и техники.
Гуманитарная сущность математики проявляется в том, что математика исследует в том числе и формы человеческого мышления, причем не только рациональные (Это можно заметить, наблюдая работу нейронных систем). Далее, она имеет глубокое воспитательное значение, она связана с трудом, ее результаты достигаются максимальным сосредоточением умственных и волевых усилий. Наконец, все ее глубокие результаты несут нетривиальную эстетику.
Сближение математики с гуманитарными науками характеризуется и ростом внимания к многозначности, рефлексии (двойственности), нелинейности, хаотическим процессам и отражению иррациональных процессов в моделировании. Этому способствует использование нейронных систем в решении неформализованных задач принятия решений, прогнозирования, диагностики.
В этой сфере можно проследить и влияние постмодернизма, что связано с широким использованием комбинаторики, более свободным и широком выбором моделей и манипулированием ими.
Можно отметить еще такой аспект гуманитаризации математики, как все больший отказ от излишней идеализации объектов; математика становится более "человечной" еще в том смысле, что она переходит к большей реалистичности в моделировании. Более реалистичные модели поневоле становятся более тонкими, более изощренными.
Если математику элементарно не мешают говорить, то есть, например, не шумят, он пользуется хорошим мелом и доской, то в остальном он свои права интеллектуала реализует абсолютно свободно. Его могут прервать, только когда требуются пояснения либо когда надо сделать замечание о чисто логических погрешностях. Математический язык и математические конструкции - это чистое творчество, но с другой стороны оно стеснено рамками строгости и своеобразной (чисто логической) объективности. Изменить математические определения, теоремы и их доказательства - это значит прежде всего изобрести все соответствующие конструкции (как бы дать им сформироваться в подсознании), а затем вывести в область сознательного, оформить вербально, причем само изложение вы-глядит, как (в принципе) абсолютно убедительное и строгое. Язык математика и свободен - в своих построениях он волен, в принципе, как угодно высоко восходить по ступеням абстракций, и несвободен. Он должен удовлетворять строгим критериям. Данный вид творчества абсолютно свободен, так как никоим образом не связан с идеологией, общественным мнением и так далее.
А теперь признаемся, что мы весьма идеализируем ситуацию математики. Да это и ясно: говорить об АБСОЛЮТНОЙ свободе в науке - наивно. Многое определяется процессами, происходящими в обществе. Но есть и другая "несвобода", более конструктивная; математик должен заботиться о релевантности своих конструкций. И если эту сторону тоже обеспечивать инструментально, то здесь прежде всего надо использовать идеи двойственности. Двойственность позволяет "раскачать" математическую модель, проверить на прочность и устойчивость, и даже осуществить акт рефлексии, посмотреть на модель как бы со стороны, оставаясь в рамкам формальных построений.
Известна фундаментальная роль двойственности в оптимизации, в настоящее время разрабатывается и теория двойственности в распознавании, есть работы по двойственности для экспертных систем. Есть и обобщающие работы по самой идее двойственности в математике и ее приложениях.
Наш подход к общей проблеме двойственности таков: двойственная задача дает возможность оценить значимость тех или иных блоков в постановке исходной задачи, определить ценности. Так, двойственным к выбору является оценивание факторов выбора, двойственность связана с пространством оценок, сопряженным исходной задаче.
3. Структурализм и двойственность
Математика - наука о структурах. Но при решении реальных задач необходимо учитывать и внеструктурное. Один из способов обоснованного учета внеструктурного - использование блока распознавания как дополнительного к алгебраической или аналитической модели. Другой способ - рефлексия, что предполагает, например, построение двойственных моделей. Естественно, что необходимо рассматривать двойственность для синтеза моделей, включающих и анализ структур, и учет внеструктурного. В частности, в этой области нами были рассмотрены двойственные конструкции для моделей выбора, включающих распознавание и диагностику.
Рефлексии образуют ряд. Если М - модель , * - операция рефлексии, то полное описание имеет вид ряда М + М* + М** + М*** + ...
4. Оптимизация и распознавание в экономике
Принятие решений в экономике инструментируется экспертными системами. В Институте математики и механики УрО РАН и в УрГУ разрабатываются экспертные системы для задач интеллектуальной поддержки решений в области диагностики и прогнозирования сложных систем, в том числе экономических, для обсчета и сравнения различных вариантов практических решений. Состояние экономики отражается массивом данных, множество всех реальных возможных состояний - допустимым множеством в пространстве состояний.
При этом эволюция состояний экономики моделируется траекторией элементов в допустимом множестве. Возможные воздействия лиц, принимающих решения, направлены на улучшение свойств этой траектории, соответствующая задача моделируется задачей математического (оптимального) программирования. Диагностика и прогнозирование обеспечиваются решением задач распознавания образов и факторного анализа. Для них нами разработаны и продолжают совершенствоваться некоторые нейронные системы. Кроме того, в экспертных системах используются правила логического вывода.
Для оценки надежности и устойчивости результатов принимаемых решений нами построены теория и методы синтеза и анализа двойственных задач оптимизации, распознавания и логического вывода. Я здесь имею в виду работу целых коллективов в УрГУ (кафедры МЭ и ЭМИ) и в Институте математики и механики.
На этой основе возможен мониторинг региона и отдельных производств, оценка и учет ресурсов, оценка возможных вариантов развития региона. При этом реальные задачи обычно неформализованы, и для таких задач мы строим специальные методы. Есть подходы и к развязке объективно возникающих противоречий.