Статья: Обучение решению математических задач с помощью графов

В М

П.Т.З. 2 "Группы, знакомства"

Участники музыкального фестиваля, познакомившись, обменялись конвертами с адресами. Докажите, что:

а) всего было передано четное число конвертов;

б) число участников, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четно.

Решение: Пусть участники фестиваля А1, А2, А3 . . . , Аn – вершины графа, а ребра соединяют пары вершин, изображающих ребят, обменявшихся конвертами:

А2

А1 А3

А4

А7

А6 А5

а) степень каждой вершины Аi показывает число конвертов, которое передал участник Аi своим знакомым. Общее число переданных конвертов N равно сумме степеней всех вершин графа N = степ. А1 + степ. А2 + + . . . + степ. Аn-1 + степ. Аn , N=2p, где p – число ребер графа, т.е. N – четное. Следовательно, было передано четное число конвертов;

б) в равенстве N = степ. А1 + степ. А2 + + . . . + степ. Аn-1 + степ. Аn сумма нечетных слагаемых должна быть четной, а это может быть только в том случае, если число нечетных слагаемых четно. А это означает, что число участников, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четное.

П.Т.З. 3. "Множество элементов"

Лист бумаги Плюшкин разрезал на 3 части. Некоторые из полученных листов он также разрезал на три части. Несколько новых листиков он вновь разрезает на три более мелкие части и т.д. Сколько Плюшкин получает листков, если разрезает k листков?

Решение: Листки бумаги обозначим на рисунке кружками. Кружки, соответствующие листам, которые разрезаются, закрасим целиком; остальные кружки оставим не закрашенными. на рисунке видно, что при разрезании одного листа на 3 части число листков увеличивается на два. Если же разрезано k листков, то образовалось 1+ 2k листов.

П.Т.З. 4 "Спортивные турниры".

Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одному разу). Покажите, что в любой момент найдутся двое, закончившие одинаковое число партий.

Решение. Переведем условие задачи на язык графов. Каждому из шахматистов поставим в соответствие вершину графа, соединим ребрами попарно вершины, соответствующие шахматистам, уже сыгравшим между собой партию. Получим граф с девятью вершинами. Степени его вершин равняются числу партий, сыгранных соответствующими игроками. Покажем, что во всяком графе с девятью вершинами всегда найдутся хотя бы две вершины одинаковой степени.

Каждая вершина графа с 9-тью вершинами может иметь степень, равную 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Предположим, что существует граф, все вершины которого имеют разную степень, т.е. каждое из чисел последовательности 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 является степенью одной и только одной из его вершин. Но этого не может быть. Действительно, если в графе есть вершина степени 0, то в нем не найдется вершина со степенью 8, так как эта вершина должна быть соединена со всеми остальными вершинами графа в том числе и с той, у которой степень =0. Иначе говоря, в графе с 9-тью вершинами не могут быть одновременно вершины степени 0 и 8. Следовательно найдутся хотя бы две вершины, степени которых равны между собой. Получили, что в любой момент времени найдутся хотя бы двое, сыгравшие одинаковое число партий.

П.Т.З. 5. "Выбор, соответствие".

Кто играет Тяпкина-Ляпкина. В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.

Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.

Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, - возразил Дима, - с раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.

Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил великодушие Гена.

. . . А мне – Осипа, - не уступил ему в великодушии Дима.

Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.