Статья: "Инкарнация" кватернионов

Здесь – векторное, а (u ₁ , u ₂₎ – скалярное произведение кватернионов U ₁ и U ₂ . Таким образом, скалярной частью кватерниона-произведения U ₁ U ₂ оказывается скалярное произведение векторов u ₁ и u ₂ , взятое с обратным знаком. Векторная же часть кватерниона u ₁ u ₂ равна вектору произведения векторов u ₁ , u ₂ . Тем самым операция умножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет оба умножения векторов – скалярное и векторное.

Далее, можно видеть, что:

Отсюда,

Из последней формулы следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби для условных u₁ , u₂ , u₃ :

[u₁ , u₂ , u₃ ] + [[u₂ , u₃ ], u₁ ] + [[u₃ , u₁ ], u₂ ] = 0.

Для этого достаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли.

Алгебра кватернионов как алгебра с делением

Пусть дан кватернион α = а + вi + сj + dk = а + u .

Кватернион = а – вi – сj – dk = а – u , отличающийся от α знаком векторной части, называется сопряженным с кватернионом α. Ясно, что .

Умножим кватернион α на сопряженный ему . Получим

α= (а + u ) (а – u ) = а² + а u – а u – u ² = a ² + (u , u ) – [u , u ] = а² + (u , u ) = а² + в² + с² + d² .

Поэтому, если α ≠0, то α>0. Заметим еще, что α=α.

Число называется модулем (нормой) кватерниона α и обозначается через модуль . Теперь легко установить, что каждый, отличный от 0 кватернион α имеет обратный. Действительно, , так что обратным кватернионом для кватерниона α является . Таким образом, алгебра кватернионов над полем R есть алгебра с делением. Заметим, что здесь существенно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принято поле R, заключение о неравенстве a ² + b ² + d ² ≠ 0 при α ≠0 было бы неверно, например, для поля C или для вычетов по простому модулю.

Тождество Эйлера

Начнем с уникально интересной теоремы.

Теорема. Модуль произведения 2-x кватернионов равен произведению модулей сомножителей.

Доказательство.

Сначала докажем, что кватернион, сопряженный с произведением 2-х кватернионов, равен произведению сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке.

Действительно, пусть α = а + u , β = в + v , где а, в R, u и v – вектор-кватернионы. Тогда αβ = а b + аv + в u + v u = ab – ( uv ) + av + bu + [u , v ].

Далее, = а b – ub + v u = а b – (u , v) – аv – bu + [v, u ] = а b – (u , v) – аv – bu – [u , v ] = αβ.

Теперь имеем:

,

откуда , что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь тождество через компоненты кватернионов, положив

α = а₁ – b ₁ i – c ₁ j – d₁ k , β = а₂ – в₂ i – с₂ j – d₂ k так, что

αβ=a₁ a₂ +b₁ b₂ +c₁ c₂ -d₁ d₂ +(а₁ b₂ -в₁ a₂ -с₁ d₂ +d₁ c₂ ) i+(а₁ c₂ +b₁ d₂ -с₁ a₂ -d₁ b₂ ) j+(а₁ a₂ -в₁ c₂ +с₁ b₂ -d₁ a₂ ) k.