Статья: Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием
а) 
для любого x0 или 
достаточно медленно;
б) если целое число k фиксировано или целочисленная последовательность 
достаточно медленно, то 
.
Доказательство. Из определения an легко выводится, что
(4)
Из (4) и леммы 1 следует, что
(5)
Пункт а) доказан. Теперь докажем б). Пусть D0 - некоторая константа. Из (4) и леммы 1, аналогично (5), выводим для любого фиксированного k или 
достаточно медленно, что
.
Выбором достаточно большой константы 
можно добиться, что 
, откуда следует, что 
. Выбирая достаточно малую константу D = D2, получим, что 
. Таким образом, .
Лемма 3. Пусть 
- схема серий с.в. с конечными вторыми моментами, в каждой серии с.в. 
образуют стационарную последовательность, удовлетворяющую условию РСП с одним и тем же коэффициентом перемешивания 
причем 
. Пусть Tn,j 
,
. Тогда
(6)
Доказательство. Первое неравенство в (6) доказано в предложении 3.3 из [4], а второе выведено в [3, лемма3.3].
Лемма 4. Для любого фиксированного k или достаточно медленно выполнено соотношение 
.
Доказательство. Схема доказательства приведена в [?, теорема 18.2.3].
Лемма 5. Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, достаточно медленно стремящаяся к бесконечности, и имеет место (3). Тогда
(7)
где 
при 
.
Доказательство. Для проведения оценки (7) используются идеи M. Пелиграда, предложенные в [4]. В силу пункта б) леммы 2 существует такая константа C0, что 
. Пусть 
- такая числовая последовательность, что 
и zn = o(Ck1/2). Тогда, имея в виду пункт а) леммы 2, легко видеть, что для 
| (8) |
Из (8) выводим
|
где 0 - некоторая константа. Пользуясь пунктом а) леммы 2, нетрудно вычислить, что 
при .
3 Доказательство основного результата
В работе А.Г. Гриня [?] введено понятие универсальной нормирующей последовательности (УНП) 
. Там же доказана
4. Пусть - стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП. Для того чтобы притягивалась к нормальному закону, достаточно, а если , и необходимо, чтобы при любом 
. Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, стремящаяся к бесконечности столь медленно, что одновременно справедливы леммы 2, 4, 5. Тогда, имея в виду еще и лемму 3, получаем
|
