Статья: Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием

Пусть - стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин (с.в.), , - -алгебры, порожденные семействами , . Говорят, что удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания

стремится к нулю при .

Как обычно, через обозначим дисперсию суммы , а через - нормальную с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Символы и обозначают сходимость по распределению и равенство распределений с.в.,  ·  - норму в L2, 1(A) - индикатор множества A. Через обозначим срезку , через - дисперсию суммы . Вместе с последовательностью будет рассматриваться последовательность таких с.в., что и независимы. В случае, если функции f и g связаны соотношением , где const - абсолютная константа, будем писать , а если и , то .

Будем считать известными определения правильно меняющихся и медленно меняющихся функций (см., например, [5]).

Говорят, что последовательность с.в. притягивается к нормальному закону, если при некотором выборе нормирующих констант An и имеет место соотношение , . В случае, если с.в. имеют конечные вторые моменты, дисперсия суммы и говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема (ЦПТ).

Первые предельные теоремы для слабо зависимых величин были доказаны И.А. Ибрагимовым в начале 60-х годов. Условие РСП дает возможность доказывать результаты о сходимости к нормальному закону без каких-либо предположений о скорости перемешивания (стремления к нулю). В этом случае будем говорить, что справедливо строгое притяжение к нормальному закону. В [?] доказана

Теорема 1. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, , для некоторого и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.

Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. ЦПТ справедлива, если потребовать существование лишь вторых моментов. Исходя из этого, в [1] высказана

Гипотеза (Ибрагимов, 1965).

Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.

Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных с.в., не имеющих вторых моментов. Тогда распределение принадлежит области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция является ММФ. Иосифеску сформулировал следующее предположение.

Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).

Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП с , и H(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.

Гипотезы Ибрагимова и Ибрагимова-Иосифеску не доказаны и не опровергнуты до сих пор.

Хорошо известны два достаточных условия для медленного изменения H(x): существование конечного второго момента () и правильное изменение хвоста распределения одного слагаемого ( - ПМФ порядка -2). В работе [4] доказана

Теорема 2. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, причем . Пусть , выполнено соотношение

(1)

где h(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.

В настоящей работе показано, что теорема 2 остается справедливой, если на функцию h(x) из (1) наложить более слабое ограничение, чем медленное изменение. В монографии Е.Сенеты предложено обобщение понятия ММФ. Функция h(x) называется SO-меняющейся [3], если существуют такие положительные постоянные C1 и C2, что для всех выполнено

(2)

Очевидно, что ММФ h(x) удовлетворяет (2), но не наоборот. Примерами SO-меняющихся функций могут служить любые функции, отделенные от нуля и от бесконечности. Таким образом, введенное расширение класса ММФ является нетривиальным.

Основным результатом работы является обобщение теоремы 2:

Теорема 3. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и выполнено соотношение

(3)

где h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда притягивается к нормальному закону.

Обобщение результата M. Пелиграда стало возможным благодаря уточнению доказательства теоремы 2, данного в работе [4].

2. Вспомогательные результаты

Из (2) очевидным образом следует

Лемма 1. Пусть h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда для любого фиксированного и для любой функции достаточно медленно.

Определим последовательность соотношением .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--