Учебное пособие: Оцінка результату і похибки прямих вимірювань

2. За виправленими результатами спостережень знаходять результат прямих багаторазових вимірювань, тобто оцінку вимірюваної величини. Така оцінка, одержана за експериментальними даними, вважається найкращою, якщо вона незміщена, обґрунтована та ефективна. Для експериментальних даних, які відповідають нормальному розподілу, найкращою статистичною оцінкою вимірюваної величини є середнє арифметичне , а найкращою оцінкою характеристики випадкової похибки – її СКВ (2.15).

IV. Обчислення оцінок характеристик похибки результату прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями.

1. Визначають незміщену оцінку СКВ результатів вимірювань за формулою (2. 19), вводячи в неї позначення . Величину називають залишковою похибкою, або відхиленням q-го результату виправленого ряду спостережень від результату вимірювань (середнього арифметичного значення ) цього ряду спостережень. Інакше кажучи, відхилення , показують, наскільки результат кожного спостереження відрізняється від середнього арифметичного значення , прийнятого за результат вимірювання, причому величини можуть бути додатними або від’ємними. Очевидно, якщо відхилення дуже малі за модулем, то результати спостережень близькі один до одного і можна вважати, що вимірювання досить точні. У протилежному разі, коли хоча б частина відхилень має досить великі значення, вимірювання не такі вже й точні.

Як видно із співвідношення (2. 19) з урахуванням рівності , визначення оцінки СКВ зводиться до послідовного обчислення відхилень , піднесення їх до квадрата, підсумовування цих квадратів і добування квадратного кореня із середнього значення одержаної суми квадратів. Для відхилень справедливе рівняння , яке використовується для перевірки правильності їх обчислення.

2. Перевіряють гіпотезу про нормальність розподілу результатів спостережень (див. § 2.6), попередньо вилучивши з експериментального ряду спостережень результати, які є промахами. Якщо число спостережень , то застосовують критерій Пірсона (критерій ), при 10 £n < 50 використовують складений критерій. Рівень значущості при цьому вибирають з інтервалу 2...10%. При числі спостережень нормальність розподілу їх результатів не перевіряється.

3. Якщо гіпотеза про нормальність розподілу результатів спостережень підтверджується, то визначають наявність грубих результатів спостережень (див. § 2.7). У тому випадку, коли грубі результати виявлені, вони відкидаються і для знов одержаного ряду обчислюють середнє арифметичне значення і незміщену оцінку результатів спостережень.

4. Визначають границі довірчого інтервалу похибки результату прямих багаторазових вимірювань, для цього:

- знаходять границі довірчого інтервалу випадкової складової похибки (підп.2.4.2);

- обчислюють границі довірчого інтервалу невилученої систематичної складової похибки, якщо вона є (підп.2.9.2). До складових невилученої систематичної похибки можуть належати методична похибка і складові інструментальної похибки ЗВТ, якщо їхніми випадковими складовими можна знехтувати;

- обчислюють границі довірчого інтервалу повної похибки результату вимірювання (підп.2.9.4).

5. Записують результат вимірювання (див. § 2.11). Якщо результат, одержаний при багаторазових вимірюваннях, призначається в подальшому для аналізу і зіставлення з іншими результатами або є проміжним для знаходження інших величин, то необхідно вказати роздільно границі допустимої невилученої систематичної похибки і оцінку СКВ випадкової похибки вимірювань.

Інколи, при великому числі результатів спостережень , для зменшення обсягу обчислень використовують групування даних, як і при побудові гістограми.

Очевидно, прямі одноразові вимірювання, для яких відома апріорна інформація про випадкову і не вилучену систематичну складові похибки вимірювань, можна вважати окремим випадком прямих багаторазових вимірювань. Тому і для тих, і для інших границі довірчих інтервалів окремих складових і повної похибки визначаються за однією методикою, однаково записується і результат вимірювань. Відмінність полягає тільки в тому, що при прямих одноразових вимірюваннях характеристики похибок відомі апріорно, а при багаторазових вимірюваннях їх одержують за експериментальними даними, тобто вони є апостеріорними.

Основна ідея багаторазових вимірювань того самого розміру вимірюваної величини полягає в переході від результату окремого вимірювання до середнього арифметичного значення ряду вимірювань. Згідно зі співвідношенням (2.15) СКВ випадкової похибки, а отже, і границі довірчого інтервалу середнього арифметичного значення в разів менші, ніж ті самі величини для окремого вимірювання. Проте точність багаторазових вимірювань обмежується дефіцитом експериментальної інформації і можливим часом її одержання.

Обробка результатів декількох серій спостережень

Інколи за умовами вимірювального експерименту багаторазові спостереження (вимірювання) фізичної величини незмінного розміру проводяться декількома етапами, розтягнутими на деякому тривалому інтервалі часу, або серії (групи) вимірювань цієї фізичної величини одержують за різних умов, з використанням різних ЗВТ і залученням для проведення експериментів фахівців різної кваліфікації. Очевидно, точність окремих серій результатів спостережень, одержаних у процесі проведення таких експериментів, буде неоднаковою. Серії називаються однорідними, якщо їх результати спостережень (значення фізичної величини) підлягають однаковому закону розподілу ймовірностей і задовольняють критерій однорідності. У протилежному випадку серії спостережень вважаються неоднорідними. В подальшому допускається, що результати спостережень усіх серій підлягають нормальному закону розподілу.

Задача об’єднання результатів декількох серій спостережень

Задача обробки результатів декількох серій спостережень (вимірювань) полягає в тому, щоб, використовуючи увесь масив експериментальних даних, одержати найкращу оцінку істинного значення вимірюваної величини. Така задача називається об’єднанням результатів спостережень. Важливо відрізняти ситуації, при яких об’єднання результатів спостережень є виправданим, від тих, при яких воно не допустиме. Так, не має рації задача об’єднання результатів спостережень різних за розміром фізичних величин.

Задача об’єднання результатів спостережень розв’язується двома етапами.

1. Здійснюється перевірка однорідності і рівноточності серій результатів спостережень між собою. Вона є обов’язковою, оскільки визначає вибір методу сумісної обробки результатів декількох серій спостережень. Перевірка зводиться до оцінки допустимої різниці між середніми арифметичними значеннями (перевірка на однорідність) і СКВ (перевірка на рівноточність, або на розкид, розсіювання) результатів вимірювань окремих серій. Якщо обидва види відмінностей, які оцінюються за певними критеріями, допустимі, то ці серії вимірювань можна розглядати як єдину сукупність експериментальних даних і статистично оброблювати як прямі вимірювання з багаторазовими спостереженнями (див. підп.4.1.2).

2. Якщо проведена перевірка на однорідність показала недопустимість цього припущення, то необхідно виконати такі дві операції. По-перше, переконатися у тому, що в процесі проведення експерименту розмір вимірюваної фізичної величини не змінювався. По-друге, оцінити границі систематичних похибок, які мали місце при одержанні кожної серії результатів спостережень. Використовуючи оцінки границь систематичних похибок, слід ввести відповідні поправки в експериментальні дані, внаслідок чого різниця між середніми арифметичними значеннями серій стає допустимою, а одержаний ряд виправлених результатів вимірювань однорідним.

Критерії однорідності результатів серій спостережень

Перевірка на однорідність виконується для результатів двох серій спостережень з використанням критерію Стьюдента, а для більшого числа серій спостережень (вимірювань) - критерію Р. Фішера.

Відповідно до критерію Стьюдента дві серії (L=2) з числом результатів спостережень визнаються однорідними, якщо виконується нерівність

, (4.1)

де- середні арифметичні результатів спостережень першої і другої серій відповідно;

- незміщені оцінки дисперсій результатів спостережень першої і другої серій;

- коефіцієнт Стьюдента, значення якого знаходять за таблицею додатка 6 при числі степенів вільності , задаючись відповідною довірчою ймовірністю P або рівнем значущості .

Отже, методика перевірки однорідності результатів двох серій вимірювань за критерієм Стьюдента виконується так:

1) обчислюють середні арифметичні результатів першої і другої серій вимірювань;

2) обчислюють незміщені оцінки дисперсій результатів вимірювань першої і другої серій;

3) знаходять за таблицею коефіцієнтів Стьюдента (додаток 6);