Учебное пособие: Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Формулировка 2 (скорее физическая):

Если система может находиться в состояниях с волновыми функциями f_p и f_q , то она может находиться и в состоянии с волновой функцией F=c_p f_p + c_q f_q .

Истоки этой формулировки происходят из убеждения, что до опыта нельзя предсказать, в каком состоянии находится система, а потому приходится допустить для неё сразу все возможности.

Речь о тех функциях, что совокупность которых образует спектр собственных функций эрмитова оператора (оператора динамической переменной). Эта ситуация может быть распространена на любое число собственных функций линейного самосопряжённого оператора:

Этот постулат называется принципом суперпозиции состояний и допускает обобщение на любое число собственных функций, образующих спектр эрмитова оператора. Функции f_k отвечают так называемым чистым состояниям, а их суперпозиция F - смешанному состоянию.

Постулат 5. Средние значения динамических переменных. Математические ожидания для динамических характеристик состояний чистых и смешанных

Формулировка:

Среднее значение динамической переменной, полученное в результате серии испытаний (измерений) совпадает с математическим ожиданием динамического оператора этой переменной, которое вычисляется по формуле:

; (5.11)

Для чистых состояний это уравнение является формальным следствием 2-го постулата, но для случая смешанных состояний эта формула постулируется и тем самым возводится в ранг физического закона.

Постулат 6. Принцип Паули

Формулировка:

Полная волновая функция, коллектива идентичных фермионов антисимметрична относительно перестановки любой пары частиц между их индивидуальными одночастичными состояниями.

Это свойство можно записать в виде

. (5.12)

О перестановочной симметрии коллектива частиц.

Удобно ввести оператор перестановки , действие которого состоит в том, что он меняет местами идентичные частицы с номерами k и l между их одночастичными состояниями или что совершенно одно и то же – меняет состояния этих двух частиц между собой.

Если заранее оговорить, что всегда номера идентичных частиц в коллективе определяются просто порядковым номером в цепочке-перечислении, то номер можно и не записывать в явной форме. В таком случае записывая в позиции частицы символ какой-то волновой функции, удобно считать её символом состояния, в которое частица попадает.

Действуя на волновую функцию, оператор перестановки исторгает из неё собственное значение, но при этом умудряется её самоё не изменять. Перед нею просто возникает некоторое число - собственное значение этого оператора. Если же оператор перестановки применить к волновой функции коллектива повторно, то обе переставляемые частицы возвращаются на исходные позиции – в исходные состояния, и волновая функция обязана обратиться вновь сама в себя. Система возвращается в исходную ситуацию, и поэтому собственное значение квадрата оператора перестановки равно единице. Получаем равенства: