Учебное пособие: Статика рідин та газів

(11.4)

Таким чином, проекція рівнодійної сил тиску на вісь Xпропорційна елементу об’єму і її можна подати у виді:

.

– це проекція на вісь X сили, яка діє на одиницю об’єму рідини.

Аналогічно для двох інших осей Yта Z:

Вектор (11.5)

Вираз в дужках є градієнт скаляра Р:

(11.6)

Об’ємна густина рівнодійної сил тиску, що діють на елементи об’єму рідини, дорівнює градієнту тиску, взятому з протилежним знаком.

В стані рівноваги сила повинна зрівноважуватись масовою силою : . Це дає рівняння

, (11.7)

яке називають основним рівнянням гідростатики. В координатній формі воно має вид системи (11.8):

(11.8)

Якщо масових сил немає, тобто , то з виразу (11.8) матимемо:

або .

При рівновазі у відсутності масових сил тиск Р один і той же по всьому об’єму рідини.

Це ще одне формулювання закону Паскаля (Блез Паскаль,
1623 – 1662).

Зокрема, якщо масові сили відсутні, рідина може перебувати в рівновазі тільки тоді, коли зовнішній тиск на її поверхню один і той же в усіх точках цієї поверхні. Інакше виникне рух рідини. У відсутності масових сил однаковий тиск на поверхню рідини приводить до появи такого ж тиску в усіх точках всередині рідини.

Якщо рідина знаходиться в полі тяжіння, то ; направимо вісь Zвертикально вгору, тоді:

(11.9)

Тиск залишається сталим в кожній площині . Горизонтальні площини – це площини однакового тиску. Вільна поверхня рідини горизонтальна тому, що вона перебуває під сталим тиском атмосфери.

Якщо рідина не стискується, то і (11.9) інтегрується:

, (11.10)

де – тиск на висоті тобто атмосферний тиск, якщо початок розташувати на вільній поверхні рідини.

Рівняння (11.10) охоплює практично всю шкільну гідростатику. (інакше ) – це гідростатичний тиск, викликаний вагою рідини, який залежить від глибини занурення в рідину.

Застосуємо основне рівняння гідростатики до земної атмосфери. Одержимо (див. (11.9)):

(11.11)

В останньому виразі замість частинної похідної записана звичайна, оскільки Р не залежить від xтаy. Для земної атмосфери наближено можна використати рівняння Клапейрона-Менделєєва: