Учебное пособие: Теория информации

Пример 4. Сравнить неопределенность, приходящуюся на букву источника информации (алфавита русского языка), характеризуемого ансамблем, представленным в таблице 2.2, с неопределенностью, которая была бы у того же источника при равновероятном использовании букв.

Таблица 2.2.

Буква	Вероятность	Буква	Вероятность	Буква	Вероятность	Буква	Вероятность
а	0,064	й	0,010	т	0,056	ы	0,016
б	0,015	к	0,029	у	0,021	э	0,003
в	0,039	л	0,036	ф	0,02	ю	0,007
г	0,014	м	0,026	х	0,09	я	0,019
д	0,026	н	0,056	ц	0,04	пробел	0,143
е,ё	0,074	о	0,096	ч	0,013
ж	0,008	п	0,024	ш	0,006
з	0,015	р	0,041	ш	0,003
и	0,064	с	0,047	ъ,ь	0,015

Решение . 1. При одинаковых вероятностях появления любой из всех m = 32 букв алфавита неопределенность, приходящуюся на одну букву, характеризует энтропия

H = log m = log 32 = 5 бит.

2. Энтропию источника, характеризуемого заданным табл. 2.2 ансамблем, находят по формуле:

-0,064 log 0,064 -0,015log0,015 - 0,143log0,143 » 4,43 бит.

Таким образом, неравномерность распределения вероятностей использования букв снижает энтропию источника с 5 до 4,42 бит

Пример 5. Заданы ансамбли Х и Y двух дискретных величин:

Таблица 2.3.

Случайные величины хi	0,5	0,7	0,9	0,3
Вероятности их появления	0,25	0,25	0,25	0,25

Таблица 2.4.

Случайные величины уj	5	10	15	8
Вероятности их появления	0,25	0,25	0,25	0,25

Сравнить их энтропии.

Решение . Энтропия не зависит от конкретных значений случайной величины. Так как вероятности их появления в обоих случаях одинаковы, то

Н(Х) = Н(Y) = - 4(0,25log0,25) = -4(1/4log1/4) =

= log 4 = 2 бит

2.2 Энтропия при непрерывном сообщении

В предыдущих параграфах была рассмотрена мера неопределенности выбора для дискретного источника информации. На практике в основном встречаются с источниками информации, множество возможных состояний которых составляет континуум. Такие источники называют непрерывными источниками информации.

Во многих случаях они преобразуются в дискретные посредством использования устройств дискретизации и квантования. Вместе с тем существует немало и таких систем, в которых информация передается и преобразуется непосредственно в форме непрерывных сигналов. Примерами могут служить системы телефонной связи и телевидения.

Оценка неопределенности выбора для непрерывного источника информации имеет определенную специфику. Во-первых, значения, реализуемые источником, математически отображаются случайной непрерывной величиной. Во-вторых, вероятности значений этой случайной величины не могут использоваться для оценки неопределенности, поскольку в данном случае вероятность любого конкретного значения равна нулю. Естественно, однако, связывать неопределенность выбора значения случайной непрерывной величины с плотностью распределения вероятностей этих значений. Учитывая, что для совокупности значений, относящихся к любому сколь угодно малому интервалу случайной непрерывной величины, вероятность конечна, попытаемся найти формулу для энтропии непрерывного источника информации, используя операции квантования и последующего предельного перехода при уменьшении кванта до нуля.

Для обобщения формулы Шеннона разобьем интервал возможных состояний случайной непрерывной величины Х на равные непересекающиеся отрезки D х и рассмотрим множество дискретных состояний х₁ , x₂ , ... , x_m с вероятностями Pi = p(x_i ) D x (i = 1, 2, ... , m). Тогда энтропию можно вычислить по формуле:

В пределе при D x ® 0 с учетом соотношения:

,

Получим .

Первое слагаемое в правой части соотношения имеет конечное значение, которое зависит только от закона распределения непрерывной случайной величины Х и не зависит от шага квантования. Оно имеет точно такую же структуру, как энтропия дискретного источника.

Поскольку для определения этой величины используется только функция плотности вероятности, т. е. дифференциальный закон распределения, она получила название относительной дифференциальной энтропии или просто дифференциальной энтропии непрерывного источника информации (непрерывного распределения случайной величины Х).

Первое слагаемое в этой сумме, называемое также приведенной энтропией , целиком определяет информативность сообщений, обусловленных статистикой состояний их элементов.

Величина log D x зависит только от выбранного интервала D x, определяющего точность квантования состояний, и при D x =const она постоянна.

Энтропия и количество информации зависят от распределения плотности вероятностей р(х).

В теории информации большое значение имеет решение вопроса о том, при каком распределении обеспечивается максимальная энтропия Н(х).

Можно показать, что при заданной дисперсии: