Учебное пособие: Урок–исследование как составная часть формирования исследовательского типа мышления учащихся и средство получения новых прочных знаний по математике

Это наши инструментальные ˝ящики˝. Из них мы будем извлекать инструменты и с их помощью добиваться цели.

Процесс исследования :.

Найдем хотя бы одну первообразную, т.е. будем в дальнейших рассуждениях полагать C=0. Учащиеся предложат следующее: Нужно найти тождества типа:

, воздействовать на них инструментом , и если интеграл для функции g(x) (т.е. правой части) найдется – то задача решена. Вспоминаем такие тождества. Знакомо только одно: . Проинтегрировав обе части, убеждаемся, что цели добиться не удалось, нужно искать другое тождество. Известных тождеств, гдебыло бы слагаемым (чтобы его выразить), нет. А наша задача как раз и состоит в том, чтобы в тождестве было слагаемым ! Задача усложнилась. Теперь придется такое тождество конструировать, создавая модель . Открываем ящик – функции . Какую из них взять? Пока непонятно. Возьмем в общем виде - . Начнем создавать (используя ящик действия ) модель : Первое предложение будет таким:

Например: - это наша модель.

Воздействуем на модель инструментом – дифференцирование. Будем иметь:

- да, слагаемого мы так и не получили. Другие воздействия (идей будет много, и все нужно тщательно рассмотреть – времени на это много не потребуется) вряд ли приведут к нужному результату ( появится либо степень, либо корень ..). Нужно изменить модель. Возьмем в качестве модели конструкцию: Воздействуем на модель инструментом – дифференцирование (другие действия (попытка – не пытка), а ученики будут их предлагать, вряд ли приведут к выделению искомого слагаемого, но мы рассматриваем все предложения досконально, пока не зайдем в тупик.). Имеем:

– всё хорошо, если бы не множитель . Тогда было бы слагаемым. Но – произвольная функция. Какую же функцию взять, чтобы Ясно, что т.к Поправим модель:

В процессе воздействия на модель инструментом дифференцирование получим:

Далее: . Теперь интегрируем – для этого мы и выделяли слагаемое . Получим:

- наша попытка увенчалась успехом.

Получено: Следовательно, одной из первообразных логарифмической функции будет , а множество всех первообразных:

4. Обработка полученного результата : Осталось показать, что = . Доказательство:

что и требовалось доказать! В процессе исследования нами была выведена формула, которую вряд ли мы найдем в литературе по математике, но её ценность и красоту трудно преувеличить. Вернемся к тождеству . Из него имеем: . Полагая в этой формуле получим: . Теперь проинтегрируем:

но

или в привычном для ребят виде:

Используя полученные знания, полагая в формуле , получим:

Задача:При каком значении параметра >1 площадь, ограниченная линиями равна 1?

Решение: Построим указанные линии.

Тогда 1

По условию

но

,

Ответ: При