1) Діагоналі рівнобедреної трапеції взаємно перпендикулярні. Доведіть, що середини сторін трапеції є вершинами квадрата.

Диагонали равнобедренной трапеции равны. Отрезки, соединяющие середины сторон трапеции, являются средними линиями треугольников, образованных сторонами трапеции и ее диагоналями, значит они параллельны диагоналям и равны их половинам, то есть равны между собой. А так как они параллельны диагоналям, они взаимно перпендикулярны (так как диагонали взаимно перпендикулярны - дано). Следовательно, четырехугольник, образованный отрезками, соединяющими середины сторон нашей трапеции, является квадратом (стороны равны и взаимно перпендикулярны), а середины сторон - вершинами этого квадрата, что и требовалось доказать.