1. Найдите точку максимума функции: y=(x-12)^2*(x-3)+4 2. Найдите точку минимума функции: y=(x+8)^2*(5x-32)+11 3. Найдите наименьшее значение функции: y=3x-x* корень из х+9 на отрезке [1,7]

Пример 1. Найти точку максимума функции [latex]y=(x-12)^2(x-3)+4[/latex] Решение: 1) Вычислим производную функции:      [latex]y'=((x-12)^2(x-3)+4)'=((x-12)^2)'(x-3)+(x-12)^2(x-3)'=\\ \\ =2(x-12)(x-3)+(x-12)^2=(x-12)(2x-6+x-12)=\\ \\ =(x-12)(3x-18)[/latex] 2) Приравниваем производную функции к нулю: [latex](x-12)(3x-18)=0[/latex] Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю [latex]x-12=0\\ x_1=12\\ 3x-18=0\\ 3x=18\\ x_2=6[/latex] ___+___(6)___-___(12)____+__ В точке х=6 производная функции меняется знак с (+) на (-), следовательно точка х=6 максимума. Ответ: х=6 - точка максимума Пример 2. Найти точку минимума функции [latex]y=(x+8)^2(5x-32)+11[/latex] Решение: 1) Найдем производную данной функции [latex]y'=((x+8)^2(5x-32)+11)'=((x+8)^2)'(5x-32)+(x+8)^2(5x-32)'=\\ \\ =2(x+8)(5x-32)+5(x+8)^2=(x+8)(10x-64+5x+40)=\\ \\ =(x+8)(15x-24)[/latex] 2) Приравниваем производную функции к нулю [latex](x+8)(15x-24)=0[/latex] Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю [latex]x+8=0\\ x_1=-8\\ \\ 15x-24=0|:3\\ 5x-8=0\\ \\ x=8/5=1.6[/latex] ___+___(-8)___-__(1.6)__+___ В точке х=1,6 знак производная меняется с (-) на (+), следовательно, точка х = 1,6 - т. минимума Ответ: х=1.6 - точка минимума Пример 3. Найти наименьшее значение функции [latex]y=3x-x \sqrt{x+9} [/latex] на отрезке [latex][1;7][/latex] Решение: 1) Вычислим производную функции [latex]y'=(3x-x \sqrt{x+9} )'=3-((x)'\sqrt{x+9}+x(\sqrt{x+9})')=\\ \\ =3-\sqrt{x+9}- \dfrac{x}{2\sqrt{x+9}} [/latex] 2) Приравниваем производную функции к нулю [latex]3-\sqrt{x+9}- \dfrac{x}{2\sqrt{x+9}} =0[/latex] Пусть [latex] \sqrt{x+9}=t [/latex], причем [latex]t \geq 0[/latex], и[latex]x=t^2-9[/latex] тогда получаем [latex]3-t- \dfrac{t^2-9}{2t} =0\,\,\, \bigg|\cdot (2t\ne0)\\ \\ \\ 6t-2t^2-t^2+9=0\\ -3t^2+6t+9=0\\ \\ -3(t^2-2t-3)=0\\ t^2-2t-3=0[/latex] По т. Виета: [latex]t_1=-1\\ t_2=3[/latex] Корень t=-1 не удовлетворяет условию при t≥0 Обратная замена [latex] \sqrt{x+9}=3\\ x+9=9\\ x=0\notin [1;7] [/latex] 3) Найдем наименьшее значение на концах отрезка [latex]y(1)=3\cdot 1-1\cdot \sqrt{1+9} =3-\sqrt{10} \ \textless \ 0\\ y(7)=3\cdot7-7\cdot\sqrt{7+9} =21-7\cdot4=21-28=-7\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\, \min[/latex] Ответ: наименьшее значение y(7)=-7