100 баллоаABCD ромб с углом А = 60 градусов.MA перпендикулярна плоскости ромба AB=AMнайти угол между плоскостями MCD и MCB.

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Дано:  ABCD - ромб ; ∠A =60° ; MA ⊥ ( ABCD ) ; MA  =AB . ----------------------- α = ∠ ( (MCD) , (MCB) )   -?  (угол  между плоскостями ) Длину  стороны ромба обозначаем через  a : AB =AD =BC =CD =a;  точка пересечения диагоналей   BD и  AC → O. ΔBAD - равносторонний (AB =AD и ∠A =60° ) ⇒ BD = a  ; AC =2AO =a√3 .    --- MA ⊥ ( ABCD ) ⇒ MA ⊥ AB  и  MA ⊥ AD . ΔMAB = ΔMAD  и т.к. MA  =AB =a  ⇒  MB =MD =√(a² +a²) =a√2 ,   Следовательно   ΔMCD  = ΔMCB ( по трем сторонам _  MC -общее)  и  из  ΔMAC :   MC =√(MA²+ AC²) = √(a²+ 3a²)  =2a . --- MC линия пересечения  плоскостей  MCD и  MCB . Проведем  в треугольнике ΔMCD   высоту DK:   DK ⊥ MC  (K- основание высоты ,  K ∈  [ MC]   ;  MC² > MB² +DC² ⇒ ∠ MDC _тупой ) ,  точка  K  соединяем  с  вершиной  B ,  очевидно  BK ⊥ MC  из ΔMCD  = ΔMCB .     Таким образом ∠DKB =  α  искомый угол . По теореме косинусов из  ΔMCD : MD²  = MC² +CD² - 2MC*CD*cos∠MCD ⇔ 2a² =4a² +a² -2*2a*acos∠MCD⇒ cos∠MCD =3/4 ⇒   sin∠MCD = √(1 -cos²∠MCD) =√(1 -(3/4)² ) =(√7) / 4 KD =CD*sin∠MCD  = (a√7) / 4    (из ΔKCD ). --- из ΔDKO :   sin (α/2 ) = DO / DK =(a/2) / (a√7) / 4 =2 /√7. α/2 = arcsin (2 /√7) ⇒ α =2arcsin (2 /√7). ответ :  2arcsin (2 /√7) .                       * * * 2arcsin (2√7 / 7 ) * * * .