34 балла. Две окружности радиусов 2 и 8 касаются друг друга внешним образом в точке А. Общая касательная к ним, проведенная через точку А, пересекает другую общую касательную в точке В. Найдите АВ.

R = 8;  r =2 . Пусть  другая касательная   CD (проведем ) ;  C∈  (O₁ ; 8)  ,  D∈(O₂ ; 2)  O₁  и  O₂  центры окружностей . BA =BC  ;  (свойство  касателей проведенной из точки   ) BA  = BD ; BC =  BD ⇒  BA =BC =BD  = 1/2* CD ;     O₂E ||  CD   , E∈  [ O₁C ];  ясно CDO₂E -прямоугольник ⇒ CD = O₂E. Из     ΔOEO : O₂E² = O₁O₂² - O₁E² = O₁O₂² - (CO₁ -EC)²  =  (R +-r)² - (R-r)²  = 4Rr ; CD = O₂E =2√R*√r ;         [ 2sqrt(Rr) ]   ,  BA = 1/2*CD = √ R*√r ;  BA = √8*√2= 4 .  . ⇒ BA =1/2* CD =4; ===================== ответ :   BA =  √ R*√r .