37) Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу равна 3, а длины катетов относятся как 9 : 2. Найти площадь треугольника. 5,3125

Пусть один катет 2х, второй 9х. По теореме Пифагора с²=(2х)²+(9х)²; с²=4х²+81х²; с²=85х² с=х√85 S=ab/2    или    S=ch/2 ab/2=ch/2 (2x·9x)/2=x√85·3/2 x=3√85/18 S=18x²/2=9x²=9·(3√85/18)²=21,25 кв. ед.

Пусть СН - высота прямоугольного Δ АВС, СН=3, ВС:АС=9:2 Пусть t - коэф.пропорциональности, тогда ВС=9t, AC=2t. В Δ BCH [latex]tg \beta = \frac{CH}{BH} [/latex], а в Δ АВС [latex]tg \beta = \frac{CA}{BC}[/latex]. Поэтому [latex]\frac{3}{BH} = \frac{2}{9} =\ \textgreater \ BH= \frac{27}{2} [/latex] В Δ АСН [latex]tg \alpha = \frac{CH}{AH}[/latex], а в Δ АВС [latex]tg \alpha = \frac{CB}{AC}[/latex]. Поэтому [latex] \frac{3}{AH}= \frac{9}{2} =\ \textgreater \ AH= \frac{2}{3} [/latex]. Гипотенуза АВ=АН+НВ =[latex] \frac{27}{2} + \frac{2}{3} = \frac{85}{6} [/latex] В Δ АВС по теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС². [latex](\frac{85}{6} )^2=(2t)^2+(9t)^2\\ 85t^2=\frac{85^2}{36}[/latex] [latex]t^2=\frac{ 85}{36}[/latex] S=½AC·BC=½·2t·9t=9t² [latex]S= 9*\frac{85}{36} =\frac{85}{4}=21,25[/latex] Ответ: 21,25.