50 баллов за ответ с решениями: 1. Найдите число членов геометрической прогрессии, в которой первый, второй и последний члены равны соответственно 2, 10 и 1250. 2. Дана геометрическая прогрессия {dn}. Найдите сумму первых пяти ...

1. q = b2/b1 = 10/2 = 5 По определению геометрической прогрессии: bn = b1qⁿ-¹ 1250 = 2•5ⁿ-¹ 625 = 5ⁿ-¹ 5⁴ = 5ⁿ-¹ 4 = n - 1 n = 5. Ответ: 5. 2. d1 - d2= 20 d3 - d2 = 60 d1 - d1q = 20 d1q² - d1q = 60 d1(1 - q) = 20 d1(q² - q) = 60 d1 = 20/(1 - q) d1 = 60/(q² - q) 20/(1 - q) = 60/(q² - q) 20(q² - q) = 30(1 - q) q² - q = 3 - 3q q² + 2q - 3 = 0 q1 + q2 = -2 q1•q2 = -3 q1 = -3 q2 = 1 - не подходит по условию задачи d1 + 3d1 = 20 4d1 = 20 d1 = 5 S5 = d1(qⁿ - 1)/(q - 1) = 5((-3)^5 - 1)/(-3 - 1) = 5(-243 - 1)/(-4) = 5•244/4 = 305. Ответ: 305. 3. Используем основное свойство геометрической прогрессии: bn² = bn-1•bn+1 (член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому соседних с ним членов). (3 + 2a)(8a + 12) = (7a)² 24a + 36 + 16a² + 24a = 49a² 49a² - 16a² - 48a - 36 = 0 33a² - 48a - 36 = 0 11a² - 16a - 12 = 0 D = 256 + 4•12•11 = 784 = 28² a1 = (16 + 28)/22 = 44/22 = 2 a2 = (16 - 28)/22 < 0 (не уд. условию задачи) Значит, при а = 2 последовательность чисел образует геометрическую прогрессию. Ответ: при а = 2.