55 баллов за решение1) Sin^4 x+cos^4 x = cos4x 2) При каких значениях параметра a уравнение не имеет решений? 5sin2x + 12cos2x=2a-1

1) Приведем левую и правую часть к функции cos 2x. sin^4 x + cos^4 x = sin^4 x + 2sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x - 2sin^2 x*cos^2 x = = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 1/2*4sin^2 x*cos^2 x = 1 - 1/2*sin^2 (2x) = = 1/2*(2 - sin^2 (2x)) = 1/2*(1 + cos^2 (2x)) cos 4x = 2cos^2 (2x) - 1 Подставляем 1/2*(1 + cos^2 (2x)) = 2cos^2 (2x) - 1 1 + cos^2 (2x) = 4cos^2 (2x) - 2 3 = 3cos^2 (2x) cos^2 (2x) = 1 a) cos 2x = -1; 2x = pi + 2pi*k; x1 = pi/2 + pi*k b) cos 2x = 1; 2x = 2pi*n; x2 = pi*n 2) 5sin 2x + 12cos 2x = (2a-1) Переходим к аргументу х 10sin x*cos x + 12cos^2 x - 12sin^2 x = (2a-1)*cos^2 x + (2a-1)*sin^2 x (2a-1+12)*sin^2 x - 10sin x*cos x + (2a-1-12)*cos^2 x = 0 Делим всё на cos^2 x (2a+11)*tg^2 x - 10tgx + (2a-13) = 0 Получили квадратное уравнение относительно tg x. Оно не имеет решений, если D < 0 D = 10^2 - 4(2a+11)(2a-13) = 100 - 16a^2 + 16a + 572 < 0 Разделим всё на -16. При этом знак неравенства поменяется. a^2 - a - 42 > 0 (a - 7)(a + 6) > 0 a < -6 U a > 7

[latex]\sin^4x+\cos^4x=\cos4x[/latex] Добавим и вычтем слагаемые [latex]2\sin^2x\cos^2x[/latex] [latex]\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x=\cos4x\\ \\ (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\cos4x\\ \\ 1-0.5\sin^22x=1-2\sin^22x\\ \\ 2\sin^22x-0.5\sin^22x=0\\ 1.5\sin^22x=0\\ \\ \sin 2x=0\\ \\ 2x= \pi k,k \in \mathbb{Z}|:2\\ \\ x= \dfrac{\pi k}{2},k \in \mathbb{Z}[/latex] [latex]5\sin 2x+12\cos2x=2a-1[/latex] Формула: [latex]a\sin x\pm b\ cos x= \sqrt{a^2+b^2} \sin(x\pm\arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }) [/latex] В нашем случае: [latex]\sqrt{5^2+12^2} \sin(2x+\arcsin \frac{12}{ \sqrt{5^2+12^2} }) =2a-1\\ \\ 13\sin(2x+\arcsin \frac{12}{13} )=2a-1\\ \\ \sin (2x+\arcsin \frac{12}{13})= \dfrac{2a-1}{13} [/latex] Уравнение решений не имеет, если  [latex]\bigg|\dfrac{2a-1}{13} \bigg |\ \textgreater \ 1[/latex] [latex] \left[\begin{array}{ccc}\dfrac{2a-1}{13} \ \textgreater \ 1\\ \dfrac{2a-1}{13} \ \textless \ -1\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2a-1\ \textgreater \ 13\\ 2a-1\ \textless \ -13\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}a\ \textgreater \ 7\\a\ \textless \ -6\end{array}\right[/latex] Ответ: при [latex]a \in (-\infty;-6)\cup(7;+\infty)[/latex]