5cos^6 x+3sin^6 x=1+cos2x

2*cos^2(x) -1 = cos(2x), cos^2(x) = (1+cos(2x))/2; 1 - 2*sin^2(x) = cos(2x), sin^2(x) = (1- cos(2x))/2; левая часть = 5*( (1+cos(2x))/2)^3 + 3*( (1-cos(2x))/2 )^3 =   = (1/8)*( 5*(1+cos(2x))^3 + 3*(1-cos(2x))^3 ) =   = (1/8)*( 5*(1 + 3*cos(2x) + 3*cos^2(2x) + cos^3(2x) ) + + 3*( 1 - 3*cos(2x) + 3*cos^2(2x) - cos^3(2x) ) =   = (1/8)*( 8 + cos(2x)*(15 - 9) + cos^2(2x)*(15+9) + cos^3(2x)*(5-3) ) =   = (1/8)*( 8 + 6*cos(2x) + 24*cos^2(2x) + 2*cos^3(2x) ) =   = (1/4)*( 4 + 3*cos(2x) + 12*cos^2(2x) + cos^3(2x) ) = 1+cos(2x), 4+ 3*cos(2x) + 12*cos^2(2x) + cos^3(2x) = 4 + 4*cos(2x), cos^3(2x) + 12*cos^2(2x) - cos(2x) = 0; cos(2x)*( cos^2(2x) + 12*cos(2x) - 1 ) = 0; cos(2x) = 0; или cos^2(2x) + 12*cos(2x) - 1 = 0; 1) cos(2x) = 0; <=> 2x = (п/2) + п*n, n - целое число. x = (п/4) + (п/2)*n, n-целое число. 2) cos(2x) = y, -1<=y<=1; y^2 + 12*y - 1 = 0; D/4 = 6^2 + 1 = 37, y1 = (-6+V(37)); y2 = (-6-V(37))<-1; y2 не годиться. 0<(-6+V(37)), (-6+V(37))<1;  V(37)<7, 37<49, верно. cos(2x) = (-6+V(37)).