5. Покупатель посещает магазины до момента приобретения нужного товара. Вероятность того, что товар имеется в определенном магазине, составляет 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – числа магазинов, которые ...

В задаче сказано, что покупатель ходит по магазинам и прекращает шоппинг сразу, как только он покупает нужный товар. Однако есть важная оговорка, а именно о том, что возможных магазинов только пять! А это означает, что как только он пройдёт по пяти магазинам – он так же прекращает свой шоппинг, т.е. из заданного алгоритма есть два выхода, описанных в задаче: первое – выход с товаром из любого магазина, включая пятый; и второй – выход из пятого магазина без товара. Вероятность того, что покупатель найдёт товар в первом магазине и прекратит шоппинг составляет [latex] P_1 = 0.4 = 40 \% [/latex] ; Вероятность того, что покупатель найдёт товар во втором магазине, не найдя его в первом, и прекратит шоппинг составляет [latex] P_2 = ( 1 - 0.4 ) \cdot 0.4 = 0.24 = 24 \% [/latex] ; Вероятность того, что покупатель найдёт товар в третьем магазине, не найдя его в первых двух, и прекратит шоппинг составляет [latex] P_3 = ( 1 - 0.4 )^2 \cdot 0.4 = 0.144 = 14.4 \% [/latex] ; Вероятность того, что покупатель найдёт товар в четвёртом магазине, не найдя его в первых трёх, и прекратит шоппинг составляет [latex] P_4 = ( 1 - 0.4 )^3 \cdot 0.4 = 0.0864 = 8.64 \% [/latex] ; Вероятность того, что покупатель прекратит шоппинг только после пятого магазина, вне зависимости от того нашёл он товар или нет, может быть найдена вычитанием из единицы всех остальных вероятностей: [latex] P_5 = 1 - ( P_1 + P_2 + P_3 + P_4 ) = 1 - ( 0.4 + 0.24 + 0.144 + 0.0864 ) = [/latex] [latex] = 1 - ( 0.64 + 0.2304 ) = 1 - 0.8704 = 0.1296 = 12.96 \% [/latex] ; Закон распределения случайной величины таков: [latex] \left|\begin{array}{ccccccccccc} P(X) \% &||& 40 \% &|& 24 \% &|& 14.4 \% &|& 8.64 \% &|& 12.96 \% \\ --- && --- && --- && --- && --- && --- \\ P(X) &||& 0.4 &|& 0.24 &|& 0.144 &|& 0.0864 &|& 0.1296 \\ --- && --- && --- && --- && --- && --- \\ X &||& 1st &|& 2nd &|& 3rd &|& 4th &|& 5th \end{array}\right| [/latex] Диаграмма распределения представлена на рисунке Самое «модное» в распределении значение – один магазин. Таких людей [latex] 40 \% . [/latex] Мода [latex] M_o = 1 [/latex] ; Важно понимать, что у магазинов нет номеров, говоря о первом, третьем и т.п. магазинах, подразумевается не какой-то конкретный первый или третий магазин, а просто количество магазинов, которые по счёту посетил покупатель, и в том числе, какой по счёту магазин он посетил последним. На рисунке зелёным просуммирована интегральная вероятность. Так, например, положение и числовое значение [latex] 78.4 \% [/latex] на диаграмме означает, что успешных шопперов, которые нашли товар не позднее третьего магазина – [latex] 78.4 \% . [/latex] Ясно, что [latex] 50 \% [/latex] самых успешных – это шопперы, которые нашли товар в первом или втором магазине. Таким образом, Медиана [latex] M_e = 2 [/latex] ; Математическое ожидание, т.е. среднее число магазинов, посещаемых всеми подобными шопперами, находится как средне-взвешенное всех магазинов по их вероятностям, т.е. [latex] M[X] = P_1 \cdot 1 + P_2 \cdot 2 + P_3 \cdot 3 + P_4 \cdot 4 + P_5 \cdot 5 = [/latex] [latex] = 0.4 + 0.24 \cdot 2 + 0.144 \cdot 3 + 0.0864 \cdot 4 + 0.1296 \cdot 5 = [/latex] [latex] = 0.4 + 0.48 + 0.432 + 0.3456 + 0.648 = [/latex] [latex] = 0.88 + 0.7776 + 0.648 = 1.6576 + 0.648 [/latex] ; [latex] M[X] = 2.3056 [/latex] , т.е., говоря «по-русски», в средем эти шопперы посещают [latex] 2.3 [/latex] «магазина» ; Дисперсию, или среднеквадратичное отклонение найдём, как средне-взвешенное квадратичное по вероятностям магазинов отклонение от мат.ожидания: [latex] D^2[X] = P_1 \cdot ( M[X] - 1 )^2 + P_2 \cdot ( M[X] - 2 )^2 + P_3 \cdot ( M[X] - 3 )^2 + [/latex] [latex] + P_4 \cdot ( M[X] - 4 )^2 + P_5 \cdot ( M[X] - 5 )^2 = [/latex] [latex] = 0.4 \cdot ( 2.3056 - 1 )^2 + 0.24 \cdot ( 2.3056 - 2 )^2 + 0.144 \cdot ( 2.3056 - 3 )^2 + [/latex] [latex] + 0.0864 \cdot ( 2.3056 - 4 )^2 + 0.1296 \cdot ( 2.3056 - 5 )^2 = [/latex] [latex] = 0.4 \cdot 1.3056^2 + 0.24 \cdot 0.3056^2 + 0.144 \cdot 0.6944^2 + [/latex] [latex] + 0.0864 \cdot 1.6944^2 + 0.1296 \cdot 2.6944^2 = 1.96260864 [/latex] ; Соответственно [latex] D[X] = \sqrt{ D^2[X] } = \sqrt{1.96260864} \approx 1.40093 [/latex] , т.е., говоря «по-русски», среднее отклонение у разных шопперов от центрального значения [latex] 2.3 [/latex] «магазина» составляет [latex] 1.4 [/latex] «магазина», т.е. [latex] 2.3 \pm 1.4 . [/latex] О т в е т: [latex] P_1 = 40 \% ; P_2 = 24 \% ; P_3 = 14.4 \% ; P_4 = 8.64 \% ; P_5 = 12.96 \% [/latex] ; [latex] M_o = 1 ; M_e = 2 ; M[X] = 2.3056 ; D[X] \approx 1.40093 . [/latex]