8 класс 1. Докажите, что при любом натуральном n: n^3+11n делится на 6; 15^n+6 делится на 7; 5*4^2n+4*61^n делится на 9; 2. Докажите, что чётная натуральная степень числа 3, увеличенная на 7, кратна 8.

1. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 + 11n делится на 6. Доказательство. 1) Начало индукции. Проверим утверждение при n = 1.      13 + 11∙ 1 = 12 Так как 12 : 6 = 2, то утверждение справедливо при n = 1.                            2) Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо  при n = k, т. е. выражение k^3 + 11k делится на 6.    3) Индуктивный шаг. Докажем, что  утверждение  выполняется при  n = k +1.    (k+1)^3 + 11(k+1) = k^3 + 3k^ 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k^3 + 11k) + 3k(k + 1) +12. Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел k или ( k + 1) является чётным, поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом n∈N     остальные в 1)  и 2)-  делать аналогично.