A) Известно, что sina + cosa = p Найдите; 1) sina*cosa 2) sin²a + cos²a 3) sin³a + cos³a 4) sin⁴a + cos⁴a б)Зная, что tgφ=[latex] \frac{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} } }{a+b} [/latex] и φ ∈ [0; π/2] в) Докажите тождество 1) [latex]...

[latex]A)\quad sina+cosa=p\\\\1.\quad (sina+cosa)^2=\underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1}+2sina\cdot cosa=\\\\=1+2sina\cdot cosa\; \; \Rightarrow \; \; \; p^2=1+2sina\cdot cosa\\\\\boxed{sina\cdot cosa=\frac{p^2-1}{2}}[/latex] [latex]2.\; \; \; \boxed{sin^2a+cos^2a=1}[/latex] [latex]3.\; \; \; (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/latex] [latex](sina+cosa)^3=sin^3a+cos^3a+3sina\cdot cosa(sina+cosa)\; \Rightarrow \\\\p^3=sin^3a+cos^3a+3\cdot \frac{p^2-1}{2}\cdot p\; \; \Rightarrow \\\\sin^3a+cos^3a=p^3-\frac{3}{2}\cdot p\cdot (p^2-1)=p^3-\frac{3}{2}p^3+\frac{3}{2}p}=-\frac{1}{2}p^3+\frac{3}{2}p\\\\\boxed {sin^3a+cos^3a=\frac{3}{2}p-\frac{1}{2}p^3=\frac{1}{2}p\cdot (3-p^2)}[/latex] [latex]4.\; \; \; (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=\\\\=a^4+b^4+4ab(a^2+b^2)+6(ab)^2\\\\\\(sina+cosa)^4=\\\\=sin^4a+cos^4a+4sina\cdot cosa\cdot (\underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1})+6(sina\cdot cosa)^2\\\\p^4=sin^4a+cos^4a+4\cdot \frac{p^2-1}{2}+6\cdot \left (\frac{p^2-1}{2}\right )^2\\\\\boxed {sin^4a+cos^4a=p^4-2(p^2-1)-\frac{3}{2}\cdot \left (p^2-1\right )^2}[/latex] [latex]B)\quad 1.\; \; \; \frac{tgx+tgy}{ctgx+ctgy} =\frac{\frac{sinx}{cosx}+\frac{siny}{cosy}}{\frac{cosx}{sinx}+\frac{cosy}{siny}}=\\\\=\frac{(sinx\cdot cosy+siny\cdot cosx)\cdot sinx\cdot siny}{(siny\cdot cosx+sinx\cdot cosy)\cdot cosx\cdot cosy} = \frac{sinx}{cosx} \cdot \frac{siny}{cosy} =tgx\cdot tgy[/latex] [latex]2.\; \; \; ctg^2a-cos^2a= \frac{cos^2a}{sin^2a} -cos^2a= \frac{cos^2a-cos^2a\cdot sin^2a}{sin^2a} =\\\\=\frac{cos^2a(1-sin^2a)}{sin^2a}= \frac{cos^2a\cdot cos^2a}{sin^2a} = \frac{cos^2a}{sin^2a} \cdot cos^2a=ctg^2a\cdot cos^2a[/latex]

А)   sinα +cosα = p ;   ===============  ОГРАНИЧЕНИЕ НА  p:   p  = sinα +cosα  =√2sin(α+45°)   ⇒   |p| ≤ √2  иначе  - √2  ≤ p  ≤ √2  (  или  p ∈  [ -√2 ; √2]   ) в противном случае  , продолжать бессмысленно  === 1) sin²α +cos²α =1 _тождество. 2) (sinα+cosα)² =sin²α +cos²α +2sinα*cosα =1+2sinα*cosα⇔p² = 1 +2sinα*cosα ⇒ sinα*cosα = (p² -1) /2. 3) sin³α +cos³α = (sinα+cosα) (sin²α -sinα*cosα + cos²α) =p*( 1- (p² -1) /2 )  = p( -p² +3)/2.       * * *  p(3 -p²) /3 * * * 4) просто:   sin⁴α +cos⁴α=(sinα +cosα)( sin³α +cos³α) - sinα*cosα (sin²α +cos²α) = p²( - p² +3)/2 - (p² -1) /2  = (-p⁴+2p² +1)/2 .   * * * (sinα +cosα)( sin³α +cos³α) =sin⁴α +cos⁴α +sinα*cosα (sin²α +cos²α) * * * Можно  использовать формулу  (a+b)⁴ =a⁴ +4a³b +6a²b² +4ab³ +b⁴ ⇒a⁴ +b⁴= (a+b)⁴-4ab(a²+b²)-6(ab)² . sin⁴α +cos⁴α =(sinα +cosα)⁴ -  4sinα *cosα ( sin²α +cos²α) - 6(sinα *cosα )² . sin⁴α +cos⁴α = (sinα +cosα)⁴ -  4sinα *cosα - 6(sinα *cosα )²  =p⁴ - 2(p² -1)  - 3(p ² -1)² /2 = (-p⁴+2p² +1)/2 .  ==================================== Б)  Зная, что tgφ= (a²+b²) /(a+b)  и  φ ∈ [0; π/2] ))))  хорошо ,что нет продолжение ..... ==================================== В) Докажите тождество  1) (tqx +tqy)/(ctqx +ctqy) =tqx*tqy   * * * (a+b) /(1/a+1/b) =(a+b) /( (a+b) /ab ) =   ab * * * (tqx +tqy)/(ctqx +ctqy) = (tqx +tqy)/( 1/tqx + 1/tqy) = (tqx +tqy)/( 1/tqx + 1/tqy)= (tqx +tqy) /( (tqx + tqy ) / tqx *tqy ) =  tqx *tqy . 2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a  --- ctg²a  -  cos²a =ctg²a  - ctq²α*sin²α=ctg²a(1 - sin²α) = ctg²a*cos²α . * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Основные тригонометрические тождества: sin²x + cos²x = 1 ; tgx  =  sinx / cosx  ; ctgx  =  cosx / sinx ;  tgx * ctgx = 1 ; tg²x + 1  =  1 / cos²x   ; ctg²x + 1  =  1/sin²x.