Алиса хочет вписать 6 чисел в кружки на рисунке так, чтобы суммы чисел в вершинах всех пяти треугольников были равными. Какое наибольшее количество различных чисел может оказаться на рисунке?

Обозначим все числа, начиная с того, что стоит в верхнем кружкке, по часовой стрелке, как   [latex] a_1 \ , \ a_2 \ , \ a_3 \ , \ a_4 \ [/latex]   и   [latex] a_5 \ . [/latex]   Число, которое стоит в центре обозначим, как   [latex] a_o \ . [/latex] Равенство всех пяти сумм чисел, стоящих в вершинах треугольников, выражается уравнениями: [latex] a_o + a_1 + a_2 = a_o + a_2 + a_3 = a_o + a_3 + a_4 = a_o + a_4 + a_5 = a_o + a_5 + a_1 \ ; [/latex] Заметим, что во всех суммах, помимо прочих (что можно легко понять и просто из рисунка) присутствует одно и то же число   [latex] a_o \ . [/latex] Так что это число может быть совершенно произвольным: простым, натуральным, целым, дробным, иррациональным, да хоть комплексным... Это ничего не изменит, поскольку данное число входит во все суммы в единичном экземпляре. Вычеркнем из вышеозначенных уравнений проанализированное число и рассмотрим уравнения в упрощённом варианте: [latex] a_1 + a_2 = a_2 + a_3 = a_3 + a_4 = a_4 + a_5 = a_5 + a_1 \ ; [/latex] Из первого равенста следует, что: [latex] a_1 + a_2 = a_2 + a_3 \ ; \Rightarrow a_1 = a_3 \ ; [/latex] Из третьего равенста следует, что: [latex] a_3 + a_4 = a_4 + a_5 \ ; \Rightarrow a_5 = a_3 = a_1 \ ; [/latex] Поскольку: [latex] a_5 + a_1 = a_1 + a_2 \ ; [/latex]   то:   [latex] a_2 = a_5 = a_3 = a_1 \ ; [/latex] Из второго равенста следует, что: [latex] a_2 + a_3 = a_3 + a_4 \ ; \Rightarrow a_4 = a_2 = a_5 = a_3 = a_1 \ ; [/latex] Таким образом, все «вершинные» числа должны быть равны между собой, а центральное при этом может быть каким угодно. Значит на рисунке может оказаться одно или два различных числа. Максимум : 2 . О т в е т : 2 .