Являются ли родственными противоположные по смыслу слова "еда" и "яд"?

Они вовсе не противоположны по смыслу. Противоположен по смыслу яду - антидот. Антонима же слову «еда» не существует. Но слово «отрава» в древней Руси означало обычную пищу, так же как и слово «яд» . Старорусское слово яда, означает современное «еду» . Но слово «яд» было обозначением еды, только той, которой требуется значительно меньшее количество.