Cos2π / 7 + cos4π / 7 + cos6π / 7 = -1 / 2 даказать

Если знаете про комплексные числа, то вот короткое доказательство. Обозначим x=cos(π/7)+i sin(π/7). Тогда x^7=cos(π)+i sin(π)=-1. Т.огда x^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0. Т.к. x≠1, то x^6+x^4+x^2=x+x^3+x^5-1 Возьмем действительную часть от обеих сторон этого равенства: cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7)=cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)-1. Но cos(π/7)=-cos(6π/7), cos(3π/7)=-cos(4π/7), cos(5π/7)=-cos(2π/7). Заменяем косинусы в правой части и переносим их влево: 2(cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7))=-1, что и требовалось.

Для решения воспользуемся тождеством [latex]cos \alpha +cos2 \alpha +cos3 \alpha +...+cosn \alpha = \frac{sin \frac{n \alpha }{2}cos \frac{(n+1) \alpha }{2} }{sin \frac{ \alpha }{2} } [/latex]. Подставив вместо n=3 и α=2π/7, получим [latex]cos \frac{2 \pi }{7} +cos \frac{4 \pi }{7}+cos \frac{6 \pi }{7}= \frac{sin \frac{3 \pi }{7}cos\frac{4 \pi }{7}}{sin \frac{ \pi }{7} } = \frac{sin \pi -sin \frac{ \pi }{7} }{2sin \frac{ \pi }{7} } =- \frac{1}{2} } } [/latex]