Дана функция f(x) = (x^2 - k)/(x^2 - 9). Касательная в точке у=2 параллельна оси ОХ. 1. Найти крайние точки 2. Найти k 3. Доказать, что данная функция - квадратичная.

Область определения функции  (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞) 1) ? не поняла какие крайние? может область определения, тогда см. выше 2) Находим производную [latex]f`(x)=( \frac{ x^{2} -k}{ x^{2} -9})`= \frac{( x^{2} -k)`( x^{2} -9)-( x^{2} -k)( x^{2} -9)`}{( x^{2} -9) ^{2} }= \\ \\ = \frac{2x\cdot( x^{2} -9)-( x^{2} -k)\cdot 2x}{( x^{2} -9) ^{2} }= \frac{2x( x^{2} -9- x^{2} +k)}{(x-3) ^{2} } = \frac{2x\cdot(k-9)}{( x^{2} -9) ^{2} }[/latex] Если у=2, то [latex]2=\frac{ x^{2} -k}{ x^{2} -9} \\ \\ 2 x^{2} -18= x^{2} -k \\ \\ x^{2} =18-k \\ \\ x_1= \sqrt{18-k} \\ \\ x_2=- \sqrt{18-k}[/latex] По условию, касательная в точке  у=2     ( х₁=√(18-k)  или х₂=-√(18-k) )  параллельна оси х, т.е угловой коэффициент такой прямой равен 0. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной функции в этой точке. Значит [latex]f`( \sqrt{18-k} )= \frac{2\cdot \sqrt{18-k} \cdot(k-9)}{( ( \sqrt{(18-k)} ^{2} -9) ^{2} }=\frac{2\cdot \sqrt{18-k} \cdot(k-9)}{( 9-k) ^{2} } \\ \\ f`( -\sqrt{18-k} )= \frac{2\cdot (- \sqrt{18-k}) \cdot(k-9)}{( (- \sqrt{(18-k)} ^{2} -9) ^{2} }=-\frac{2\cdot \sqrt{18-k} \cdot(k-9)}{( 9-k) ^{2} } [/latex] Приравниваем найденные в точках производные к нулю, находим k [latex]\frac{2\cdot \sqrt{18-k} \cdot(k-9)}{( 9-k) ^{2} }=0[/latex] или [latex]-\frac{2\cdot \sqrt{18-k} \cdot(k-9)}{( 9-k) ^{2} }=0[/latex] k≠9 получаем k=18 3) Докажем четность По определению функция является четной, если 1) область определения симметрична относительно 0 2) f(-x)=f(x) У данной функции область определения (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞) -  симметрична относительно 0 [latex]f(- x)=\frac{ (-x)^{2} -k}{(-x)^{2} -9}= \frac{ x^{2} -k}{ x^{2} -9}=f(x)[/latex] Функция четна.