Дано А(-2;0) ,B(1;3) , C(-1; 2). Проверить могут ли они являться вершинами треугольника? Если да,то найти S -площадь этого треугольника , высоту CH и ее уравнение?

Найдем длины сторон АВ, АС и ВС: [latex]AB= \sqrt{(1-(-2))^2+(3-0)^2} = \sqrt{9+9} =3 \sqrt{2} \\\ AC= \sqrt{(-1-(-2))^2+(2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \\\ BC= \sqrt{(-1-1)^2+(2-3)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} [/latex] Для сторон АС и ВС очевидно выполняется неравенство треугольника. Убедимся, что оно выполняется и для стороны АВ: [latex]3 \sqrt{2} \ \textless \ \sqrt{5} + \sqrt{5} \\\ 3 \sqrt{2} \ \textless \ 2\sqrt{5} \\\ \sqrt{18} \ \textless \ 2\sqrt{20} [/latex] Значит, треугольник АВС существует. Площадь треугольника найдем как половина модуля векторного произведения векторов АВ и АС (или сначала найти уравнение и длину высоты СН, а затем найти площадь как полупроизведение основания на высоту): [latex]\vec{AB}=\{1-(-2); \ 3-0\}=\{3; \ 3\}=\{3; \ 3; \ 0\} \\\ \vec{AC}=\{-1-(-2); \ 2-0\}=\{1; \ 2\}=\{1; \ 2\; \ 0\}[/latex] [latex]S= \frac{1}{2}| [\vec{AB} \ \vec{AC}}]| \\\ [\vec{AB} \ \vec{AC}}]= \left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&3&0\\1&2&0\end{array}\right|= \\\ =\vec{i}\cdot3\cdot0+\vec{j}\cdot0\cdot1+\vec{k}\cdot3\cdot2-\vec{k}\cdot1\cdot3-\vec{j}\cdot3\cdot0-\vec{i}\cdot0=0\vec{i}+0\vec{j}+3\vec{k} \\\ S=\frac{1}{2}| \sqrt{0^2+0^2+3^2} |= \frac{3}{2} [/latex] С другой стороны площадь треугольника можно найти как половина произведения стороны АВ на проведенную к ней высоту СН: [latex] \frac{AB\cdot CH}{2} = \frac{3}{2} \\\ 3 \sqrt{2} \cdot CH = 3 \\\ CH= \frac{1}{ \sqrt{2}} [/latex] Для определения уравнения высоты СН составим уравнения перпендикулярной стороны АВ: [latex]\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \\\ \frac{x-(-2)}{1-(-2)} = \frac{y-0}{3-0} \\\ \frac{x+2}{1+2} = \frac{y}{3} \\\ y= x+2[/latex] Угловой коэффициент прямой СН является обратным и противоположным по отношению к соответствующему коэффициенту прямой АВ: [latex]k_0=- \frac{1}{1} =-1[/latex] Составляем уравнение прямой, проходящей через заданную точку С с заданным угловым коэффициентом -1: [latex]y-y_0=k(x-x_0) \\\ y-2=-(x-(-1)) \\\ y-2=-x-1 \\\ y=1-x[/latex]