Даны четыре вектора а =(4; 5; 2), b =(3; 0; 1), c =(-1; 4; 2), d =(5; 7; 8) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.        4  3  -1 det( 5  0   4)  =  -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора         2  1   2 a,b,c образуют базис, что и требовалось показать. Вектор d представим в виде: d = p*a + q*b + r*c Так как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r: 4p + 3q - r = 5 5p + 4r = 7 2p + q + 2r = 8  q = 8-2p-2r    тогда получим систему 2p+7r=19                                                          5p+4r=7 Решив, получим: p = -1,  r = 3   и тогда q = 4 Значит разложение выглядит так: d = -a + 4b + 3c