Даны координаты фокусов гиперболы - F1(4; 2) , F2(-1; -10) и уравнение касательной 3х+4у-5=0. Найти параметр а гиперболы.

Если вам нужно найти действительную ось гиперболы , то  положим что   [latex]A(x_{1};y_{1})[/latex] точка на гиперболы , тогда  то уравнение касательной к ней будет иметь вид  [latex] \frac{x_{1}x}{a^2}-\frac{y_{1}y}{b^2}=1 [/latex]  то есть если  даны уравнение  гиперболы и касательной , то [latex] y=mx+k\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 [/latex]  [latex] k^2=m^2a^2-b^2 [/latex]  откуда   [latex]y=\frac{-3x+5}{4}\\ \frac{25}{16}=\frac{9a^2}{16}-b^2 [/latex]    уравнение  [latex] a^2+b^2=\sqrt{(-1-4)^2+(-10-2)^2}=13\\ a^2+b^2=13[/latex]  решаем систему получим  [latex]\frac{25}{16}=\frac{9a^2}{16}-b^2\\ a^2+b^2=13\\\\ a=\frac{\sqrt{233}}{5}\\ b=\frac{2\sqrt{23}}{5}[/latex]   то есть [latex] a=\frac{\sqrt{233}}{5}\\ [/latex]