Даны вершины пирамиды А1 А2 А3 А4. координаты вершины: А1(3, 6, 1) А2(6, 1, 4) А3(3, -6, 10) А4(7, 5, 4) а) Записать уравнение грани пирамиды А2 А3 A4 и найти её расстояние от точки А1 б) Найти проекцию точки А1 на гр...
Даны вершины пирамиды А1 А2 А3 А4.
координаты вершины:
А1(3, 6, 1)
А2(6, 1, 4)
А3(3, -6, 10)
А4(7, 5, 4)
а) Записать уравнение грани пирамиды А2 А3 A4 и найти её расстояние от точки А1
б) Найти проекцию точки А1 на грань А2 А3 A4
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
ГостьПусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Точка A2 Точка A3 Точка A4
x y z x y z x y z
6 1 4 3 -6 10 7 5 4
x-x1 y2-y1 z3-z1 z2-z1 y3-y1 y-y1 x2-x1 x3-x1 z-z1 x-x1 -7 0 6 4 y-y1 -3 1 z-z1 (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) (x-x1) * 0 (x-x1) * 24 (y-y1) * 0 (y-y1) * 6 (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) (z-z1) * -12 (z-z1) * -7
Уравнение плоскости A2A3A4 x -x1 0 24 y y1 0 6 z z1 -12 -7 -24 144 6 -6 -5 20
-24 x + 6 y - 5 z + 158 = 0 или
24 x - 6 y + 5 z - 158 = 0
Можно получить это же уравнение так:
Уравнение грани А2А3А4 (условно BDC).
| x - Вх y - By z - Bz|
|Dx - Вх Dy - By Dz - Bz| = 0
|Cx - Вх Cy - By Cz - Bz|
|x - 6 y - 1 z - 4|
|7 - 6 5 - 1 4 - 4| =0
|3 - 6 -6 - 1 10 - 4|
x - 6 y - 1 z - 4
1 4 0
-3 -7 6 =
= 24·(x - 6) - 6·(y - 1) + 5·(z - 4) = 24·x - 6·y + 5·z - 158.
Направляющий вектор плоскости: N = {24,-6,5}
Уравнение высоты, опущенной из точки A1 на грань A2A3A4:
имеет вид:
{x + Ax)/Nx = (y + Ay)/Ny = (z + Az)/Nz;
(x + 3)/24 = (y + 6)/-6 = (z + 1)/5.
Для вычисления расстояния от точки А1(3; 6; 1) до плоскости 24x - 6y + 5z - 158 = 0 используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| / √A2 + B2 + C2
Подставим в формулу данные d = |24·3 + (-6)·6 + 5·1 + (-158)| = |72 - 36 + 5 - 158|/√(24² + (-6)² + 5²) = 117/√(576 + 36 + 25) = 117/(9√137) ≈ 4.635708782739415.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы