Диагонали четырехугольника взаимноперпендикулярны. Докажите, что суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Обозначим четырехугольник АВСD, пусть O - точка пересечения диагоналей. Все получившиеся треугольники АВО, ВСО, СDO, DOA - прямоугольные. По теореме Пифагора: АВ^2=AO^2+BO^2, BC^2=BO^2+CO^2, CD^2=CO^2+DO^2, AD^2=AO^2+DO^2. Отсюда следует, что АВ^2+CD^2=BC^2+AD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2.