Дифференциальное уравнение помогите решить,пожалуйста. (y'')^2+2y'y'''+1=0

В уравнении явно отсутствует [latex]x[/latex]. Понизим порядок: [latex]y' = p(y) \\ y'' = (p(y))' = p'(y) * y' = p'p \\ y''' = (y'')' = (p'p)' = (p')'p + (p')^2 = p'' * p' * p + (p')^2 * p = p''p^2 + (p')^2p[/latex] (1) Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид: [latex](p'p)^2 + 2p(p''p^2 + (p')^2p) + 1 = 0 \\ (p')^2p^2 + 2p^2(p''p + (p')^2) + 1 = 0[/latex]. Разделим уравнение на [latex]p^2[/latex] ([latex]p \neq 0[/latex], в противном случае мы бы имели уравнение [latex]C^2 + 1 = 0[/latex], нерешаемое в действительных числах): [latex](p')^2 + 2(p''p + (p')^2) + \frac{1}{p^2} = 0 \\ 3(p')^2 + 2p''p + \frac{1}{p^2} = 0[/latex]. Полученное уравнение явно не содержит [latex]y[/latex]. Сделаем замену [latex]p' = u(p) \Rightarrow p'' = u'u[/latex]. Тогда: [latex]3u^2 + 2u'up + \frac{1}{p^2} = 0[/latex], или, полагая [latex]u^2 = z[/latex], [latex]3z + pz' = -\frac{1}{p^2}[/latex]. Получили линейное неоднородное уравнение 1-ого порядка. Решая его (оставляю это на вас), находим [latex]z = \frac{C_1}{p^3} - \frac{1}{p^2} \Leftrightarrow (p')^2 = \frac{C_1}{p^3} - \frac{1}{p^2} \Leftrightarrow p' = \pm \sqrt{\frac{C_1}{p^3} - \frac{1}{p^2}}[/latex] Разделяем переменные и интегрируем: [latex]\pm \int \frac{p\sqrt{p}dp}{\sqrt{C_1-p}} = y + C_2[/latex] (2) Находим интеграл в левой части (это тоже на вас): [latex]\pm (\frac{3}{4}C_1^2arctg \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{C_1-p}} - \frac{1}{4} \sqrt{p}\sqrt{C_1-p}(3C_1+2p)) + C_2 = y[/latex] (1') Из (1) и (2) имеем: [latex]p = \frac{dy}{dx} \Rightarrow dx = \frac{dy}{p} = \pm \frac{p\sqrt{p}dp}{\sqrt{C_1-p}}[/latex], отсюда, находя интеграл в правой части, находим [latex]x = \pm (C_1arctg \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{C_1-p}} - \sqrt{p}\sqrt{C_1-p}) + C_3[/latex]. (2') Составляя систему из условий (1') и (2'), исключаем по возможности параметр p и записываем общий интеграл.