Для функции [latex]f(x)=\frac{3}{5+3x}[/latex] найдите первообразную на промежутке ([latex]-\frac{5}{3}[/latex]; +[latex]\infty [/latex])

f(x)=3/(5+3x) F(x)=F(3/(5+3x))=3F(1/(5+3x))=3*1/3 * ln|5+3x| + C = ln|5+3x|+C Так как x = (-5/3;+беск), то |5+3x|=5+3x => F(x)=ln(5+3x)+C 

Для начала найдем первообразную функции на всей числовой прямой: [latex]\int{\frac{3}{5+3x}}\, dx=ln|5+3x|+C[/latex]  Знак модуля ставится ввиду того, что производная  от модуля существует как в отрицательном значении,  так и положительном, но так как задан промежуток интегрирования, на котором интегрируема функция получаем: [latex]5+3x=0[/latex] [latex]x=-\frac53[/latex] Получаем, что в данном промежутке произвадная существует только при положительном значении модуля, поэтому получаем: [latex]\int{\frac{3}{5+3x}}\, dx=ln|5+3x|+C=ln(5+3x)+C[/latex]