Для кожного натурального числа n знайдiть усi такi пари натуральних чисел x і y, що Xn – yn=2015                  (n- степень)

 Для [latex]n=1[/latex] ,  [latex] x-y=2015[/latex]   Решения    [latex] (x;2015-x)[/latex]    Для [latex]n=2\\ 2015 = 5*13*31*1 \\ [/latex]   Совокупность систем  , только  [latex] \left \{ {{ x-y=1} \atop {x+y=5*13*31}} \right. \\\\ \left \{ {{ x-y=5} \atop { x+y= 13*31}} \right. \\\\ \left \{ {{x-y=13} \atop { x+y = 5*31}} \right. \\\\ \left \{ {{ x-y=31} \atop { x+y=13*5}} \right. [/latex]     Решая  , получаем решений  [latex] (1008;1007) \cup (204;199) \cup (84;71) \cup (48;17) [/latex]  Для  [latex] n= 3 [/latex]   [latex] (x-y)(x^2+xy+y^2) = 5*13*31 \\ \left \{ {{ x-y = 1} \atop { x^2+xy+y^2 = 5*13*31}} \right. \\ \left \{ {{ x-y=5} \atop { x^2+xy+y^2 = 13*31}} \right. \\ \left \{ {{x-y=13} \atop {x^2+xy+y^2 = 5*31}} \right. \\ \left \{ {{ x-y = 31} \atop { x^2+y^2+xy = 5*13}} \right. [/latex]      Получаем решения   [latex] x= 14 ; y= 9 [/latex]    Для [latex] n \geq 4 \\ [/latex] , попробуем обосновать , так  [latex](x-y)(x^3+xy^2+x^2y+y^3) = 5*13*31 \\\\ x-y=1\\ (2y+1)(2y^2+2y+1) = 2015 \\\\ x-y=5\\ (2y+5)(2y^2+10y+25) =13*31 \\\\ x-y=13\\ (2y+13)(2y^2+26y+169) = 5*31 \\ \\ x-y=31\\ (2y+31)(2y^2+62y+961)=5*13\\\ [/latex]     Так же и для других сочетаний , и мы можем легко убедиться что нет  целых решений , решая  уравнения   В уравнений       [latex] x^5-y^5 = (x-y)(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)=1*13*5*31 \\ x^6-y^6 = (x-y)(x*(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)+y^5) = 1*13*5*31 \\ ...\\ [/latex]     Можно итерационно заметить что   Уравнения ,   при [latex] n=2x+1[/latex]   [latex] \frac{x^n-y^n}{x-y} = 5*31[/latex] решения в действительных числа      А при меньших числах , не имеет в целых числах