Доказать что внешний угол треугольника равен. Углу между биссектрисами углов не смежных с ним.

Чему равен угол, который образует биссектриса внешнего угла треугольника с биссектрисой смежного ему внутреннего угла? Утверждение. Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла. bissektrisa vneshnego ugla treugolnika Дано: ∆ ABC, ∠BAP — внешний угол при вершине A, AN — биссектриса ∠BAP, AM — биссектриса ∠BAC. Доказать: ∠MAN=90º. Доказательство: (аналогично доказательству об угле между биссектрисами смежных углов). Так как внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом при данной вершине, то по свойству смежных углов \[\angle BAP + \angle BAC = {180^o}.\] Так как AN — биссектриса внешнего угла BAP, то \[\angle BAN = \frac{1}{2}\angle BAP.\] Так как AM — биссектриса угла BAC, то \[\angle BAM = \frac{1}{2}\angle BAC.\] Таким образом, \[\angle MAN = \angle BAN + \angle BAM = \] \[ = \frac{1}{2}\angle BAP + \frac{1}{2}\angle BAC = \] \[ = \frac{1}{2}(\angle BAP + \angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\] svoystvo bissektrisyi vneshnego ugla treugolnika Итак, мы доказали, что биссектриса внешнего угла треугольника образует с биссектрисой внутреннего угла при данной вершине прямой угол: \[AM \bot AN.\] Вывод: если требуется найти угол между биссектрисами внешнего и внутреннего углов треугольника, знать градусные меры самих углов не требуется. Каким бы ни был внешний угол треугольника, его биссектриса перпендикулярна биссектрисе смежного внутреннего угла