Доказать методом математической индукции. [latex]\frac1{1*2}+\frac1{2*3}+\frac1{3*4}+...+\frac1{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}[/latex] Находил сумма ряда, заметил закономерность и пришел к такому утверждению, но доказать не могу.

(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4) +.....+(1/n-1/(n+1)= =1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)= =(n+1-1)/(n+1)=n/(n+1)

Можно и индукцией доказать: База индукции: При n = 1: 1/(1*2) = 1/(1+1) - верно. Предположение индукции:  Пусть при n = k верно следующее: 1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) = k / (k+1) Индукционный переход: Докажем, что 1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1) / (k+2) Заменим 1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) на k / (k+1), так как мы предположили верность этого равенства. Тогда должно выполняться следующее: k / (k+1) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1) / (k+2) Упростим левую часть: k / (k+1) + 1/((k+1)(k+2)) = k*(k+2) / ((k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k^2+2k+1)/((k+1)(k+2))=(k+1)^2 / ((k+1)(k+2)) = (k+1)/(k+2). (k+1)/(k+2) = (k+1)/(k+2) - тождество, ч.т.д.