Докажите что числа 4n+1 и  5n+1 взаимно простые

Предположим, что они не взаимно простые. Тогда есть число k, на которое делятся оба числа: 4n+1=ak; 5n+1=bk (a, b, k - целые). Домножим первое уравнение на 5/4 и вычтем из него второе, получится: 1/4 = 5/4ak - bk; 1 = k(5a-4b). Отсюда k может быть только ±1, т.е. числа взаимно простые.