Дoкaжитe чтo для любыx нeoтpицaтeльныx чиceл a и b выпoлняeтcя нeрaвeнcтвo [latex](a+2)(b+2)(a+b) \geq 16ab[/latex]
Дoкaжитe чтo для любыx нeoтpицaтeльныx чиceл a и b выпoлняeтcя нeрaвeнcтвo [latex](a+2)(b+2)(a+b) \geq 16ab[/latex]
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
ГостьЕсли x и y не отрицательны то
(√x-√y)^2>=0
x+y-2√xy>=0
x+y>=2√xy
Откуда без ограничений общности:
a+2>=2*√2a
b+2>=2*√2b
a+b>=2√ab
Переумножая все 3 неравенства получим:
(a+2)(b+2)(a+b)>=8*√2a *√2b*√ab=16ab
(a+2)(b+2)(a+b)>=16ab
Чтд
ГостьПо неравенству о средних [latex] \frac{(a+2)(b+2)(a+b)}{16} \geq ab\\\\ \frac{a^2b+2a^2+4a+ab^2+2ab+2ab+2b^2+4b}{8} \geq 2ab\\\\ \sqrt[8]{a^8*b^8 * 2^8} = 2ab\\\\ 2ab=2ab[/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы