Докажите, что {х│х=4n-1,n-целое число}={х│х=4m+3,m-целое число}.

Множество целых чисел: [latex]\mathbb Z=\{...-1,0,1...\}[/latex] Т.е. все отрицательные и натуральные числа. Множества называются равными если: [latex]A \subseteq B[/latex] и [latex]B\subseteq A[/latex] Пусть: [latex]A=\{x|x=4n-1,n\in \mathbb Z\}[/latex] [latex]B=\{x|x=4m+3,m\in \mathbb Z\}[/latex] Так как [latex]x=x[/latex] То: [latex]4n-1=4m+3[/latex] Т.е. либо n зависит от m: [latex]n= m+1[/latex] Либо m от n: [latex]m=n-1[/latex] Теперь, если [latex]A\nsubseteq B[/latex] то,значит, есть такой элемент [latex]a\in A[/latex] так что [latex]a\notin B[/latex]. Т.е. выполняется: [latex]a=4n-1 \Rightarrow n= \frac{a+1}{4} [/latex] Значит: [latex]\frac{a+1}{4} \neq m+1[/latex] Но мы знаем что для каждого n и m выполняется n=m+1. Значит противоречие и наше предположение о том что А не является подмножеством В не верно. Т.е.  [latex]A\subseteq B[/latex] Теперь, если предположить что [latex]B\nsubseteq A [/latex], то значит есть такой элемент [latex]b\in B [/latex] так что: [latex]b\notin A[/latex] Т.е. выполняется: [latex]b=4m+3 \Rightarrow m= \frac{b-3}{4} [/latex] Значит : [latex]\frac{b-3}{4} \neq 4n-1[/latex] Но этого не может быть. Значит противоречие. [latex]B\subseteq A[/latex] Отсюда следует: [latex]A=B[/latex]