Докажите, что [latex]5^k [/latex] делится на 3 с остатком 1, если k - четное, и с остатком два, если не четное.

рассмотрим случай четных k доказательство методом математической индукции (База индукции) [latex]k=2[/latex]:[latex]5^2=25[/latex] 25 при делении на 3 дает остаток 1 (25=8*3+1) Выполняется Гипотеза индукции пусть при k=n утверждение верно, т.е. справедливо утверждение [latex]5^n[/latex] при четном n при делении на 3 дает остаток 1 Индукционный переход. n+2 - следующее последовательное четное число после числа n Докажем что тогда [latex]5^{n+2}[/latex] дает остаток 1 Так как [latex]5^{n+2}=5^n*5^2=5^n*25[/latex] [latex]5^n[/latex]  при делении на 3 дает остаток 1 (согласно нашей гипотезе) 25 при делении на 3 дает остаток 1 (убедились выше) Поэтому по правилу деления произведения на число остаток будет равен остатку от деления произведения остатков множителей так как 1*1=1, а 1 при делении на 3 дает остаток 1 то и число [latex]5^{n+2}[/latex] даст остаток 1 По принципу математической индукции доказано Аналогично для нечетных доказывается для нечетных [кратко 5 при делении на 3 дает остаток 2) (5^{n}*5^2) 5^n - остаток 2 25 - остаток 1 2*1=2 , 2 при делении на 3 остаток 2]