Докажите, что [latex]\displaystyle \sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}};\\ \tan (\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}[/latex]

1) Пусть arctanx = α, тогда x = tanα, нужно найти sin(arctanx) = sinα. [latex]1+tan^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha } [/latex] [latex]1+tan^{2} \alpha = \frac{1}{1 - sin^{2} \alpha } [/latex] выразим отсюда sinα: [latex]sin^{2} \alpha = 1 - \frac{1}{1 + tan^{2} \alpha } [/latex] [latex]sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{1+tan^{2} \alpha } } = \sqrt{ \frac{tan^{2} \alpha }{1+tan^{2} \alpha }} = \frac{tan \alpha }{ \sqrt{1+tan^{2} \alpha } } = \frac{x}{ \sqrt{1+x^{2}} } [/latex] что и т.д. 2) Пусть arcсosx = α, тогда x = cosα, нужно найти tan(arccosx) = tanα. [latex]1+tan^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha } [/latex] [latex]tan^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha } - 1[/latex] [latex]tan \alpha = \sqrt{\frac{1}{cos^{2} \alpha } -1}[/latex] [latex]tan \alpha = \sqrt{\frac{1}{cos^{2} \alpha } -1} = \sqrt{\frac{1 - cos^{2} \alpha }{cos^{2} \alpha }} = {\frac{ \sqrt{1 - cos^{2} \alpha }}{cos \alpha }} = {\frac{ \sqrt{1 - x^{2}}}{x}} [/latex] что и т.д.