Докажите, что при любом натуральном n: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n(n+1)(2n+1))/(3)

[latex]1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} [/latex] Докажем методом математической индукции:  1) Шаг индукции: проверим, достигается ли равенство при n = 1. [latex]1(1 + 1) = \frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} [/latex] [latex]2 = \frac{6}{3} [/latex] [latex]2 = 2[/latex] 2) Пусть при n = k равенство выполняется: [latex]1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}[/latex] [latex](1) [/latex] 3) Шаг индукции: докажем, что при [latex]n = k + 1 [/latex] равенство также верно: [latex]1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) + (k+1)(k + 2) = [/latex] [latex]\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}[/latex] [latex]1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = [/latex] [latex]\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} - (k+1)(k +2)[/latex] [latex]1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = [/latex][latex]\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} - \frac{3(k+1)(k +2)}{3} [/latex] [latex]1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = [/latex] [latex]\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 3(k+1)(k +2)}{3} [/latex] [latex]1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = [/latex] = [latex]\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3 - 3)}{3}[/latex] [latex]1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}[/latex] Мы пришли к равенству [latex](1) [/latex], которое предполагало, что при любом [latex]n = k[/latex], n ∈ N равенство верно. Значит, оно верно для любого n, n ∈ N.