Докажите, что при положительных значениях a, b и c выражение [latex]\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}[/latex] тождественно равно [latex]2\sqrt{a+b}[/latex], если a+b≥c

Question

Докажите, что при положительных значениях a, b и c выражение [latex]\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}[/latex] тождественно равно [latex]2\sqrt{a+b}[/latex], если a+b≥c

Гость

Ответ(ы) на вопрос:

Accepted Answer

Возведем левую часть в квадрат: [latex]2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b+c+2\sqrt{ac+bc})(a+b+c-2\sqrt{ac+bc})}\\ =2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b+c)^2-4(ac+bc)}=\\ =2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b-c)^2}=2(a+b+c)+2(a+b-c)=\\=4(a+b)[/latex]