Докажите, что сумма кубов n первых натуральных чисел равна [latex] \frac{n^{2}(n+1)^{2} }{4} [/latex]

Методом математический индукции. База индукции n=1 [latex]1^3=1; \frac{1^2*(1+1)^2}{4}=1; 1=1[/latex] -выполняется Гипотеза индукции Пусть для n=k, утверждение верно, т.ею [latex]1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}[/latex] Индукционный переход, докажем, что тогда верно утвеждение при n=k+1, т.е. [latex]1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/latex] [latex]1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3+(k+1)^3=[/latex] используем гипотезу [latex]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=[/latex] выносим общий множитель [latex](k+1)^2(\frac{k^2}{4}+(k+1))=[/latex] к общем знаменателю [latex]\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=[/latex] используем формулу квадрата двучлена [latex]\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/latex] что и требовалось доказать. По принципу математеческой индукции утверждение верно