Докажите неравенство [latex]\frac{5}{4} a^{2} +3ab+2 b^{2} \geq 0[/latex] , где a и b - действительные числа

Разделим все на b^2 и умножим на 4 [latex]5 \frac{a^2}{b^2} + 12 \frac{a}{b} + 8 \geq 0[/latex] [latex]5(a/b)^2+12(a/b)+8 \geq 0[/latex] Получили квадратное уравнение относительно дроби a/b. D = 12^2 - 4*5*8 = 144 - 160 < 0 Корней нет. Поскольку a = 5 > 0, то ветви направлены вверх, значит, левая часть неравенства положительна при любом (a/b). Что и требовалось доказать.