Если сумма квадратов двух чисел равна [latex] x^{2} [/latex] , а произведение этих чисел равно [latex] x^{2} + 2 x + 2[/latex] определите все возможные значения числа x

[latex]a,b[/latex]  числа [latex] a^2+b^2=x^2\\ ab=x^2+2x+2\\\ (a+b)^2= 3x^2+4x+4[/latex] так как целые числа дают целое то   [latex]3x^2+4x+4 \in C[/latex] [latex]a+b=y\\ y^2=3x^2+4x+4[/latex]  Заметим что [latex]y^2\equiv 0;1 mod(3)[/latex] то есть дает остаток равный [latex]0;1[/latex] при делений на [latex]3[/latex],но [latex] 3x^2[/latex] делится на [latex]3[/latex] , число справа  делиться на [latex]3[/latex] то есть дает остаток равный [latex] 0[/latex] , когда она сама кратна      [latex] 3[/latex] , то есть при всех остальных она равна [latex]1[/latex],[latex]4x+4=4(x+1)[/latex] число четное, положим что [latex]y \neq 3n[/latex]  , тогда [latex]4(x+1)\equiv 1 \ mod (3)[/latex]  но числа  [latex]x[/latex]   должно оканчиваться на [latex]2;5;6;7[/latex]  потому что  последняя цифра квадрата [latex]1;2;4;6;9[/latex] [latex]x+1=1;4;7\\ x+1=3z+1\\ x=3z [/latex]  но так как было сказано что,  оканчиваться  на [latex]2;5;6;7[/latex] , остается только [latex]2[/latex] варианта [latex]2;6[/latex] Подходит только  [latex] x=12[/latex]