Готов отдать все свои пункты за правильное решение следующей задачи:   Докажите, что для любых положительных a и b выполнено неравенство:   [latex](a+b)^3\geq \frac{27}4a^2b[/latex]   Задача несложная, но тем не менее...   Edit...

Разделим обе части указанного неравенства на положит. число a^3 и сделаем замену переменной: t = b/a > 0: [latex](1+t)^3\geq\frac{27t}{4};[/latex] Раскроем куб суммы и домножив на 4, получим: [latex]4t^3+12t^2-15t+4\geq0;[/latex] Многочлен в левой части раскладывается на множители по стандартной процедуре. Подбором устанавливается целый корень:  -4, далее делением многочлена на (t+4) получим (2t-1)^2  и полное разложение имеет вид: [latex](2t-1)^2(t+4)\geq0;[/latex] Видим, что при t>0 указанное неравенство верно, что и требовалось доказать. Равенство 0 достигается при t = 1/2, то есть при любых положительных a и b, отвечающих условию: a = 2b