Исходя из определения предела последовательности докажите, что при n стрелочка бесконечность. Пример на фото.

Следуя определению  предела последовательности: [latex]\displaystyle a= \lim _{n\rightarrow +\infty} x_n[/latex] Если: [latex]\forall \epsilon , \exists N \in \mathbb N | \forall n \ \textgreater \ N \Rightarrow |x_n-a|\ \textgreater \ \epsilon[/latex] На понятном языке это так: Число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности [latex]\forall \epsilon[/latex] существует натуральный номер [latex]\exists N\in \mathbb N[/latex] - такой, что все члены последовательности с большими номерами [latex]\forall n \ \textgreater \ N[/latex] окажутся внутри окрестности [latex]|x_n-a| \ \textgreater \ \epsilon[/latex] Имеем предел: [latex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n} =1[/latex] Требуется доказать что он равен 1.  Доказательство: Если [latex]n\ \textgreater \ N[/latex] то [latex]|\frac{n+2}{n} -1|\ \textless \ \epsilon \Rightarrow | \frac{n-n+2}{n} |\ \textless \ \epsilon \Rightarrow | \frac{2}{n} | \ \textless \ \epsilon[/latex] Так как само [latex]n[/latex] натурально, то мы имеем право раскрыть данный модуль: [latex]\frac{2}{n} \ \textless \ \epsilon \Rightarrow n\ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon} [/latex] Следовательно, отсюда имеем следующее: Если [latex]n \ \textgreater \ N[/latex] то [latex]n \ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon}[/latex] Так как в: [latex]n \ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon}[/latex] дробное число, нам следует брать только его целую часть: [latex]n\ \textgreater \ [\frac{2}{\epsilon}][/latex] Имеем: [latex]N=[ \frac{2}{\epsilon}] [/latex] Вывод: Для любой сколько угодно малой окрестности [latex]\epsilon[/latex] точки [latex]a=1[/latex], нашлось значение [latex]N=[ \frac{2}{\epsilon}] [/latex], такое , что для любых больших номеров [latex]n\ \textgreater \ N[/latex] выполняется неравенство [latex] | \frac{n+2}{n} -1|\ \textless \ \epsilon[/latex] Таким образом, число a является пределом последовательности по определению. Ч.Т.Д.