Исследуйте функцию y=x(x-3)^2 и постройте график

Решение: 1) ОДЗ для данной функции определено на всей числовой прямой (D(f) ∈ R) 2) Функция ни четна, ни нечетна 3) Точки пересечения с осью OX при x₁ = 0; x₂ = 3.     Точки пересечения с осью OY в y = 0 4) (x-3)^2 в данной функции будет иметь постоянно положительный знак, т.к. оно находится под квадратом. Значит, знак всей функции зависит только от множителя x. Там, где x>0, функция положительна; соответственно, где x<0, там и y<0. 5) [latex]f'(x)=x'(x-3)^2+x((x-3)^2)'=(x-3)^2+2x(x-3) \\ (x-3)^2+2x(x-3)=0 \\ (x-3)(3x-3) = 0 \\ 3(x-1)(x-3)= 0 \\ x_1 = 1 \\ x_2 = 3[/latex] Мы нашли точки экстремума. Теперь найдем промежутки возрастания/убывания функции:            +                     -                  + ---------------------|-------------|------------------------>                          1              3 Функция возрастает на промежутке: (-∞; 1] ∪ [3; +∞) Функция убывает на промежутке: [1; 3] Так как нет наибольших и наименьших значений у функции на всем промежутке, то область значений функции колеблется от (-∞; +∞). График функции дан во вложениях.