Какой цифрой оканчивается число 777в степени 200??

Во-первых, 777≡7 (mod 10), следовательно, [latex]777^{200}[/latex]≡[latex]7^{200} [/latex] (mod 10). Найдем несколько степеней числа 7: [latex]7^0=1[/latex] [latex]7^1=7[/latex] [latex]7^2=49[/latex] [latex]7^3=343[/latex] [latex]7^4=2401[/latex] [latex]7^5=16807[/latex] Заметим, что [latex]7^0[/latex] и [latex]7^4[/latex] оканчиваются на одну цифру 1; [latex]7^1[/latex] и [latex]7^5[/latex] также оканчиваются на одну цифру 7. Последняя цифра в степенях числа 7 будет повторяться через 4, т.е., более строго, для любых целых неотрицательных чисел m и n верно утверждение: [latex]7^{4m+n}[/latex]≡[latex]7^n[/latex] (mod 10) Подставим m=50, n=0 и получим: [latex]7^{4*50+0}[/latex]≡[latex]7^0[/latex] (mod 10) То есть, [latex]7^{200}[/latex]≡[latex]1[/latex] (mod 10) Так как [latex]777^{200}[/latex]≡[latex]7^{200}[/latex] (mod 10), то [latex]777^{200}[/latex]≡[latex]1[/latex] (mod 10). Это значит, что последняя цифра в десятичной записи числа [latex]777^{200}[/latex] равна 1. Ответ: цифрой 1.